Сума

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Су́ма (лат. summa) — результат операції додавання.

Наприклад, у виразі

4 + 5 = 9

9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками.

Сума позначається знаком + (плюс).

Для позначення суми членів послідовності використовується символ  \sum , наприклад

 \sum_{i=1}^N a_i = a_1 + a_2 + \ldots a_N .

Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається

 \sum_{i=1}^\infty a_i .

В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою. Наприклад,

5 - 4 = 5 + (-4)
a-b = a + (-b)

Визначена сума[ред.ред. код]

Часто для скорочення суму з n доданків ak, ak+1, …, aN позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):

a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою ai по i від k до N.
Для зручності замість \sum_{i=k}^Na_i інколи пишуть \sum_{P(i)}^{}a_i, де P(i)\  — деяке відношення для i\ , таким чином \sum_{P(i)}^{}a_i це скінченна сума всіх a_i\ , де i\in Z : P(i)\
Властивості визначеної суми:

  1. \left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)
  2. \sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}
  3. \sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i
  4. \sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i

Приклади[ред.ред. код]

  1. Сума арифметичної прогресії:
    \sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}
  2. Сума геометричної прогресії:
    \sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}
  3. \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0
  1. \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1
  1. \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1
    • При p = 10\ отримуємо \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
      1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5

Невизначена сума[ред.ред. код]

Невизначеною сумою ai по i називається така функція f(i), яка позначається \sum_{i}^{} a_i, що \forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}.

Формула Ньютона-Лейбніца[ред.ред. код]

Якщо знайдена невизначена сума \sum_{i}^{} a_i = f(i), тоді \sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)

Етимологія[ред.ред. код]

Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік).

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.

Див. також[ред.ред. код]