Одностороння границя

Функція $f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} x$ має лівосторонню границю $-1,$ правосторонню границю $+1,$ і значення функції, рівне $0$, у точці $x=0.$

Одностороння границя в математичному аналізі — границя функції дійсної змінної, яка передбачає прямування до граничної точки тільки з одного боку — зліва або справа. Такі границі називають відповідно лівосторонньою границею (або лівою границею) та правосторонньою границею (або правою границею).

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, причому $A\neq \emptyset$, і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:\,A\to \mathbb {R}$.

Означення за Коші

Означення правосторонньої границі

Нехай $x_{0}$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A$. Число $a$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільного додатного $\varepsilon$ існує додатне число $\delta$ таке, що для довільного $x\in (x_{0},x_{0}+\delta )$ виконується $|f(x)-a|<\varepsilon$.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

$\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);$

Означення лівосторонньої границі

Нехай $x_{0}$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A$. Число $a$ називається лівосторонньою границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільного додатного $\varepsilon$ існує додатне число $\delta$ таке, що для довільного $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})$ виконується $|f(x)-a|<\varepsilon$.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

$\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).$

Використовуються також наступні скорочення:

• $f\left(x_{0}+\right)$ і $f\left(x_{0}+0\right)$ для правої границі;
• $f\left(x_{0}-\right)$ і $f\left(x_{0}-0\right)$ для лівої границі.

Означення за Гейне

Означення правосторонньої границі

Нехай $x_{0}$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею фунції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для будь-якої послідовності $\{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A$, $a_{n}>x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до числа $x_{0}$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Означення лівосторонньої границі

Нехай $x_{0}$ така гранична точка множини $A$, що існує $\gamma >0$ таке, що $(x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею фунції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для будь-якої послідовності $\{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A$, $a_{n}<x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до числа $x_{0}$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці $x_{0}$ та рівні в ній, то можна показати, що $\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)$. Якщо односторонні границі існують в точці $x_{0}$, але не рівні, то границі в точці $x_{0}$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Приклад 1: Лівою та правою границями функції $g(x)=-{\frac {1}{x}}$ при $x\to 0$ є

$\lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty$ та $\lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty .$

Причина, чому $\lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty$, в тому, що $x$ від'ємний при $x\to 0-$, що в цьому випадку означає, що $-1/x$ додатня, тому $\lim _{x\to 0-}{-1/x}$ розходиться до $+\infty$.

Аналогічно, $\lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty$, бо $x$ додатній при $x\to 0+$, що в цьому випадку означає, що $-1/x$ від'ємна, тому $\lim _{x\to 0+}{-1/x}$ розходиться до $-\infty .$

Графік функції $1/(1+2^{-1/x}).$

Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є $f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},$ для якої ліва границя дорівнює $\lim _{x\to 0-}f(x)=0$, а права границя — $\lim _{x\to 0+}f(x)=1.$

Використовуючи попередній приклад, отримуємо:

$\lim _{x\to 0-}2^{-1/x}=+\infty$ та $\lim _{x\to 0+}2^{-1/x}=0.$

Тому

$\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1,$

а $\lim _{x\to 0-}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0$, бо знаменник прямує до нескінченності, тобто $\lim _{x\to 0-}(1+2^{-1/x})=+\infty .$

Отже, $\lim _{x\to 0-}f(x)\neq \lim _{x\to 0+}f(x),$ а границі $\lim _{x\to 0}f(x)$ не існує.

Див. також

• Границя функції в точці

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)