Гранична точка

Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.

Визначення

Нехай задано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$, де $X$ — довільна множина, а ${\mathcal {T}}$ — означена на $X$ топологія. Нехай також задано підмножину $A\subset X$. Точка $x\in X$ називається граничною точкою множини $A$, якщо для будь-якої відкритої множини $U\in {\mathcal {T}}$, такої що $x\in U$ виконується

$(U\setminus x)\cap A\not =\emptyset$.

У разі якщо $A\subset \mathbb {R}$, точка $x_{0}$ називається граничною точкою множини A, якщо $\forall \varepsilon >0\quad \exists x\in A\setminus \{x_{0}\}:|x-x_{0}|<\varepsilon$

Для послідовності точок $\{x_{n}\}$ в топологічному просторі граниною точкою $x$ буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок $_{n}$ послідовності.

Пов'язані поняття

• Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається $A'$.
• Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається ${\bar {A}}$ або $[A]$.

Властивості

• У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, що цілком лежить в A і така, що $x_{n}\to x$ при $n\to \infty$.
  • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
• Не всяка точка множини A мусить бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не конче їй належить.
• Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хочаб одну граничну точку.
• Границя послідовності точок в топологічному просторі $(X,{\mathcal {T}})$ завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$ задовільняє першу аксіому зліченності.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)