Гранична точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дано топологічний простір (X,\mathcal{T}), де X — довільна множина, а \mathcal{T} — означено на X топологія. Нехай також задано підмножину A \subset X. Точка x \in X називається граничною точкою множини A, якщо для будь-якої відкритої множини U \in \mathcal{T}, такого що x \in U виконується

(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset.


У випадку якщо A \subset \mathbb{R}, точка x_0 називається граничною точкою множини A, якщо \forall \varepsilon > 0 \quad \exists x \in A \setminus \{x_0\} : |x-x_0| < \varepsilon

Для послідовності точок \{x_n\} в топологічному просторі граниною точкою x буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок _n послідовності.

Зв'язані поняття[ред.ред. код]

  • Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається A'.
  • Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається \bar{A} або [A].

Властивості[ред.ред. код]

  • У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A, що цілком лежить в A і така, що x_n \to x при n \to \infty.
    • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
  • Не всяка точка множини A зобов'язана бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не зобов'язана йому належати.
  • Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хоч би одну граничну точку.
  • Границя послідовності точок в топологічному просторі (X,\mathcal{T}) завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір (X,\mathcal{T}) задовільняє першу аксіому зліченності.