Гранична точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дано топологічний простір , де  — довільна множина, а  — означено на топологія. Нехай також задано підмножину . Точка називається граничною точкою множини , якщо для будь-якої відкритої множини , такого що виконується

.


У випадку якщо , точка називається граничною точкою множини A, якщо

Для послідовності точок в топологічному просторі граниною точкою буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок послідовності.

Зв'язані поняття[ред.ред. код]

  • Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається .
  • Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається або .

Властивості[ред.ред. код]

  • У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність , що цілком лежить в A і така, що при .
    • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
  • Не всяка точка множини A зобов'язана бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не зобов'язана йому належати.
  • Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хоч би одну граничну точку.
  • Границя послідовності точок в топологічному просторі завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір задовільняє першу аксіому зліченності.