Замкнута множина

За́мкнута мно́жина — доповнення до деякої відкритої множини.

Означення

Нехай дано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$. Множина $V\subset X$ називаєтся замкнутою відносно топології ${\mathcal {T}}$, якщо існує відкрита множина $U\in {\mathcal {T}},$ така що $V=X\setminus U.$

Приклади

• Весь простір $X$, а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнуті.
• Інтервал $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнута в просторі раціональних чисел $\mathbb {Q}$, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$.

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
• об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $\mathbb {R}$, $[a,b)$ (при стандартній топології на $\mathbb {R}$)
• множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

• Відкрита множина.
• Замикання (топологія).

Література

1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин (1989). Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: «Наука».
2. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
3. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.