Субдиференціал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}функція на евклідовому просторі \mathbb{R}^n. Вектор g \in \mathbb{R}^n називається субградієнтом функції f(x) в точці \bar{x} \in \mathbb{R}^n, якщо справджується нерівність

g\in\mathbb{R}^n:f(x)-f(\bar x)\geq g^{T}(x-\bar x) \quad \forall x\in\mathbb{R}^n\}

Множина всіх субградієнтів називається субдиференціалом функції f(x) в точці \bar{x} і позначається \partial f(\bar x). Використовуючи математичну символіку можна записати визначення субдиференціалу:

\partial f(\bar x)=\{g\in\mathbb{R}^n:f(x)-f(\bar x)\geq g^{T}(x-\bar x) \quad \forall x\in\mathbb{R}^n\}

Приклад[ред.ред. код]

Для функції f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto|x| однієї дійсної змінної маємо:

\partial f(\bar x)=\begin{cases}\{-1\} & \bar x<0\\ \left[-1,1\right] & \bar x=0\\ \{1\} & \bar x>0\end{cases}

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]