Субдиференціал

Опукла функція (синя) та «лінії субградієнту» в x₀ (червоні).

У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу.

Визначення

Нехай $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ — функція на евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}.$ Вектор $g\in \mathbb {R} ^{n}$ називається субградієнтом функції $f(x)$ в точці ${\bar {x}}\in \mathbb {R} ^{n},$ якщо справджується нерівність

$g\in \mathbb {R} ^{n}:f(x)-f({\bar {x}})\geq g^{T}(x-{\bar {x}})\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\}$

Множина всіх субградієнтів називається субдиференціалом функції f(x) в точці ${\bar {x}}$ і позначається $\partial f({\bar {x}})$. Використовуючи математичну символіку можна записати визначення субдиференціалу:

$\partial f({\bar {x}})=\{g\in \mathbb {R} ^{n}:f(x)-f({\bar {x}})\geq g^{T}(x-{\bar {x}})\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\}$

Приклад

Для функції $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto |x|$ однієї дійсної змінної маємо:

$\partial f({\bar {x}})={\begin{cases}\{-1\}&{\bar {x}}<0\\\left[-1,1\right]&{\bar {x}}=0\\\{1\}&{\bar {x}}>0\end{cases}}$

Властивості

• Опукла функція $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ є диференційовною в точці $x_{0}$ тоді і тільки тоді, коли субдиференційал функції $f$ в точці $x_{0}$ складається з єдиного числа. Це число і є похідною функції $f$ в точці $x_{0}$.
• Точка $x_{0}$ є точкою глобального мінімуму опуклої функції $f$ тоді і тільки тоді, коли нуль входить до її субдиференціалу, тобто коли на рисунку вище можна провести горизонтальну дотичну в точці $x_{0}$ до графіку функції $f$.
• Якщо $f$ і $g$ є опуклими функціями з субдиференціалами $\partial f(x)$ і $\partial g(x)$, то субдиференціалом функції $f+g$ є $\partial (f+g)(x)=\partial f(x)\oplus \partial g(x)$, де $\oplus$ позначає суму Мінковського.

Див. також

• Опукла функція

Джерела

• Моклячук М.П. Основи опуклого аналізу. К.:ТвіМС, 2004. – 240с.
• М.П.Моклячук, Негладкий аналіз та оптимізація
• J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.