Опукла функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Опукла функція однієї змінної

Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

при всіх λ ∈ [0, 1].

Нехай область визначення опуклої функції f(x) лежить в скінченновимірному просторі, тоді f(x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій[ред.ред. код]

Нехай x1, …, xm — будь які точки із області визначення опуклої функції f(x), λ1, …, λm — не від'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

.

Якщо f(x) — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Операції, що зберігають опуклість[ред.ред. код]

  • Якщо f і g є опуклими функціями, тоді і також опуклі.
  • Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді , також опукла, тому що є опуклою і монотонно висхідною.
  • Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді є опуклою.
  • Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення , тоді також опукла, де з областю визначення .
  • Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді є опуклою по x, якщо для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
  • Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива (чия область визначення — ) є опуклою.
  • Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
  • Якщо є опуклою дійснозначимою функцією, тоді для зліченного набору дійсних чисел

Джерела інформації[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.