Евклідів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Евклідів простір — скінченновимірний дійсний векторний простір E із скалярним добутком[1]. Характеристики евклідового простору неформально можна вважати узагальненнями звичних та досліджуваних Евклідом 2- та 3-вимірних просторів.

Евклідова метрика[ред.ред. код]

Нехай декартові координати в тривимірному просторі такі, що якщо точці P відповідають три її координати (x1, x2, x3), а точці Q -- координати (y1, y2, y3). Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного відрізку, що з'єднує P та Q дорівнює: l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2, то такий простір називають евклідовим простором, а декартові координати з такими властивостями називають евклідовими координатами.

Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots (x_n-y_n)^2 = \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2.

Функція відстані між двома точками має назву метрики, а наведений вище вид такої функції для евклідового простору має назву евклідової метрики.

Вектори в евклідовому просторі[ред.ред. код]

З точками евклідового простору зручно зіставити вектори. Назвемо вектор, направлений від початку координат у точку P радіус-вектором цієї точки. Декартові координати (x1, x2, x3) точки Р будемо називати координатами радіус-вектора. Два вектори, які направлені з початку координат до точок P та Q з координатами p= (x1, x2, x3) та q= (y1, y2, y3) можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор p+q з координатами (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3).

Можна також домножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) мають довжину, яка дорівнює 1, а самі вектори взаємоперпендикулярні.

Будь-який вектор v (x1, x2, x3) може бути розкладений по одиничних векторах: v = e1x1 + e2x2 + e3x3. Тут простір тривимірний. Для n-вимірного простору все аналогічно. Тому евклідів простір визначається також як лінійний (векторний) простір, в якому квадрат відстані між точками (кінцями радіус-векторів) визначається за формулою l^2= \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Див. також[ред.ред. код]