Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Піка, або теорема Шварца — Піка — інваріантне формулювання та узагальнення леми Шварца.
Нехай
— регулярна аналітична функція з одиничного круга в одиничний круг
![{\displaystyle Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832310fa517b42102d3389cf2ec0a5a014dc447d)
Тоді для будь-яких точок
і
круга
відстань у конформно-евклідовій моделі площини Лобачевського між їх образами не перевищує відстані між ними:
.
Більш того, рівність досягається тільки в тому випадку, коли
є дробово-лінійною функцією, яка відображає коло
на себе.
Оскільки
![{\displaystyle \mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68830704bcf3da0fb5ea7048f5147e3a9ae33aa0)
умова
![{\displaystyle d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce9d8290e7f43418585ddcae6422b3ea98f00ba)
еквівалентна такій нерівності:
![{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b906c36f764eef86204c2376489f4221a4a9832)
Якщо
і
нескінченно близькі, вона перетворюється на
![{\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cc314b2b69d854a76586a7d3f80c87571f657e)
- Pick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 вид. — М., 1966.