Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца . Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка . Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення .
Нехай
Δ
=
{
z
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}
комплексній площині
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
голоморфна в
Δ
{\displaystyle \Delta }
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
|
f
(
z
)
|
⩽
1
,
∀
z
∈
Δ
{\displaystyle |f(z)|\leqslant 1,\,\forall z\in \Delta }
Тоді:
|
f
(
z
)
|
⩽
|
z
|
,
∀
z
∈
Δ
{\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|,\,\forall z\in \Delta }
|
f
′
(
0
)
|
⩽
1
{\displaystyle |f'(0)|\leqslant 1}
Окрім того, якщо
|
f
(
z
)
|
=
|
z
|
{\displaystyle |f(z)|=|z|}
z
∈
Δ
{\displaystyle z\in \Delta }
|
f
′
(
0
)
|
=
1
{\displaystyle |f'(0)|=1}
f
(
z
)
=
α
z
{\displaystyle f(z)=\alpha z}
α
{\displaystyle \alpha }
|
α
|
=
1
{\displaystyle |\alpha |=1}
Розглянемо функцію
g
(
z
)
=
f
(
z
)
z
{\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{z}}}
Δ
∖
0
{\displaystyle \Delta \setminus 0}
Маємо також
lim
z
→
0
g
(
z
)
=
lim
z
→
0
f
(
z
)
z
=
lim
z
→
0
f
(
z
)
−
f
(
0
)
z
−
0
=
f
′
(
0
)
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow 0}g(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)}{z}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}=f'(0)\,}
Визначивши
g
(
0
)
=
f
′
(
0
)
{\displaystyle g(0)=f'(0)}
Δ
ε
=
{
z
:
|
z
|
<
1
−
ε
}
{\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|<1-\varepsilon \}}
0
<
ε
≪
1
{\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}
|
g
(
z
)
|
⩽
1
(
1
−
ε
)
{\displaystyle |g(z)|\leqslant {\frac {1}{(1-\varepsilon )}}}
принципу максимуму модуля випливає, що
Δ
ε
=
{
z
:
|
z
|
⩽
1
−
ε
}
{\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|\leqslant 1-\varepsilon \}}
z
∈
Δ
ε
{\displaystyle z\in \Delta _{\varepsilon }}
ε
→
0
{\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}
|
g
(
z
)
|
⩽
1
{\displaystyle |g(z)|\leqslant 1}
z
∈
Δ
{\displaystyle z\in \Delta }
|
f
(
z
)
|
⩽
|
z
|
{\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|}
z
∈
Δ
∖
0
{\displaystyle z\in \Delta \setminus 0}
z
=
0
,
|
f
(
z
)
|
=
0
=
|
z
|
,
{\displaystyle z=0,\,|f(z)|=0=|z|,}
g
(
0
)
=
f
′
(
0
)
{\displaystyle g(0)=f'(0)}
|
f
′
(
0
)
|
=
|
g
(
0
)
|
⩽
1
{\displaystyle |f'(0)|=|g(0)|\leqslant 1}
Якщо тепер для деякого ненульового
z
∈
Δ
{\displaystyle z\in \Delta }
|
f
(
z
)
|
=
|
z
|
{\displaystyle |f(z)|=|z|}
|
g
(
z
)
|
=
1.
{\displaystyle |g(z)|=1.}
|
f
′
(
0
)
|
=
1
{\displaystyle |f'(0)|=1}
g
(
0
)
=
1.
{\displaystyle g(0)=1.}
|
g
(
z
)
|
⩽
1
{\displaystyle |g(z)|\leqslant 1}
z
∈
Δ
{\displaystyle z\in \Delta }
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
α
{\displaystyle \alpha }
f
(
z
)
z
=
g
(
z
)
≡
α
,
{\displaystyle {\frac {f(z)}{z}}=g(z)\equiv \alpha ,}
f
(
z
)
=
α
z
.
{\displaystyle f(z)=\alpha z.}
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ . — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9 
