Теорема виродженості

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема виродженості — теорема стосовно обернення блочної матриці, яка стверджує, що ступінь виродження, тобто розмірність нуль-простору блока в матриці дорівнює ступеню виродження доповняльного блока в оберненій матриці.

Розбиття матриці і оберненої до неї на чотири підматриці:

Розбиття у правій частині рівняння повинно бути транспонованим щодо розбиття лівої частини, тобто, якщо A є блоком m-на-n тоді E має бути блоком n-на-m.

Теорема стверджує, що:

Загальніше, якщо підматриця утворена з рядків з індексами {i1, i2, …, im} і стовпчиків з індексами {j1, j2, …, jn}, тоді доповняльна матриця утворена з рядків з індексами {1, 2, …, N} \ {j1, j2, …, jn} і стовпчиків з індексами {1, 2, …, N} \ {i1, i2, …, im}, де N це розмір цілої матриці. Теорема виродженості стверджує, що розмірність нуль-простору будь-якої підматриці дорівнює розмірності нуль-простору доповняльної підматриці в оберненій матриці.

Доведення

[ред. | ред. код]

Припустимо, що Якщо це не так, ми можемо довести теорему для матриць

які також обернені одна до одної. Припустимо, що інакше і теорема доведена.

Коли тоді існує матриця з лінійно незалежними стовпчиками, такими що Отже, домножуючи наступне рівняння на праворуч:

ми отримуємо, що

Застосовуючи таку саму дію до відношення

маємо, що звідси, використовуючи властивість рангу добутку матриць, у нашому випадку і робимо висновок, що

Використовуючи ці два твердження разом, ми виводимо

Разом із нашим припущенням, що це доводить теорему.[1]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. M. Fiedler; T.L. Markham (1986). Completing a matrix when certain entries of its inverse are specified. Linear Algebra and its Applications. 74: 225—237. doi:10.1016/0024-3795(86)90125-4. Архів оригіналу за 24 вересня 2015. Процитовано 9 грудня 2014.