Усні обчислення

У́сні обчи́слення — математичні обчислення, що виконуються людиною без застосування допоміжних приладів, таких як калькулятор, комп'ютер, ручка та папір тощо.

Способи швидкого додавання та віднімання

Спосіб округлення

Цей спосіб основано на заміні суми або різниці залежно від зміни компонентів і застосовується в тому випадку, коли хоча б один з компонентів є число, близьке до круглих десятків, сотень, тисяч, і т. д.

1. Якщо один з доданків, округлюючи, збільшимо на кілька одиниць, то з одержаної суми потрібно відняти стільки ж одиниць.

   Приклад. 264 + 391 = 264 + (391 + 9) − 9 = 264 + 400 − 9 = 655.

2. Якщо один доданок збільшимо на кілька одиниць, а другий зменшимо на стільки ж одиниць, сума не зміниться. Виходячи з цього виконується округлення одного доданка за рахунок іншого.

   Приклад. 998 + 936 = 1000 + 934 = 1934.

3. Якщо від'ємник при округленні збільшимо на кілька одиниць, то до одержаної різниці потрібно додати стільки ж одиниць.

   Приклад. 2342 − 996 = 2346 − 1000 = 1346.

4. Якщо зменшуване при округленні зменшимо на кілька одиниць то до одержаної різниці потрібно додати стільки ж одиниць.

   Приклад. 10012 − 8645 = 10000 − 8645 + 12 = 1355 + 12 = 1367.

Способи швидкого множення і ділення

Множення методом Ферроля

Для одержання одиниць добутку перемножимо одиниці співмножників, для одержання десятків перемножують десятки одного на одиниці другого співмножника і навпаки і результати додають, для одержання сотень перемножують десятки.

Цей спосіб множення випливає з тотожності: $(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$.

Ознаки подільності

Ознака подільності на 10

На 10 діляться всі ті і лише ті числа, які закінчуються нулями.

Ознака подільності на 2 і на 5

На 2 або на 5 діляться ті і лише ті числа, у яких остання цифра зображає число, що ділиться відповідно на 2 або на 5.

Ознака подільності на 3 і на 9

На 3 або на 9 діляться ті і лише ті числа, у яких сума цифр ділиться відповідно на 3 або на 9.

Ознака подільності на 4 і на 25

На 4 або на 25 діляться ті і лише ті числа, які закінчуються двома нулями, або у яких дві останні цифри зображають число, що ділиться відповідно на 4 або на 25.

Ознака подільності на 8 і на 125

На 8 або на 125 діляться ті і лише ті числа, які закінчуються трьома нулями, а також ті, у яких три останні цифри зображають число, що ділиться відповідно на 8 або на 125.

Ознака подільності на 7, 11 і 13

На 7, 11 і 13 діляться ті і лише ті числа, у яких різниця між числом, зображеним трьома останніми цифрами, і числом, зображеним рештою цифр (або навпаки), ділиться відповідно на 7, на 11 або на 13.

Ознака подільності на 11

На 11 діляться ті і лише ті числа, у яких різниця між сумою цифр, що стоять на парних місцях, і сумою решти цифр ділиться на 11.

Ознаки подільності на 6, 12, 18, 24 і т. д.

На 6 діляться ті і лише ті числа, які діляться на 2 і на 3.

Загальна ознака подільності чисел

Для того, щоб число N ділилося на d, необхідно і достатньо, щоб сума добутків цифр цього числа на остачі, які одержуються від ділення на d відповідних степенів десяти ділилася на d.

Змагання з усного рахунку

Починаючи з 2004 року, один раз на два роки проводяться чемпіонати світу з усного рахунку серед дорослих та серед дітей і юнаків. Змагання проводяться з таких завдань, як додавання десяти 10-значних чисел, множення двох 8-значних чисел, розрахунок заданої дати за календарем з 1600 по 2100 роки, корінь квадратний 6-значного числа. Також визначається переможець в категорії «Кращий універсальний феноменальний лічильник» за підсумками розв'язання шести невідомих «завдань з сюрпризом».

В країнах Балтії, Словенії, Грузії та Україні проводяться змагання з усного рахунку серед школярів під назвою Прангліміне (ест. Pranglimine).

Див. також

• Список алгебраїчних формул
• Таблиця множення
• Формули скороченого множення
• Обчислювальна математика
• Рахівниця
• Калькулятор
• Прангліміне

Література

• Корчевська О. (2004). Усні обчислення і актуалізація опорних знань на уроках математики. 3 клас. Тернопіль: Підручники і посібники.
• К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка».

Посилання

• Артур Бенджамін. Матемагія. — відеодоповідь на конференції TED. (англ.) (укр.)
• Як забути про… забудькуватість // DW.COM, 24.02.2012.
• Іспанець Альберто Кото рахує найшвидше у світі // Телеканал новин «24», 03.09.2011.