Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Формула Біне — Коші — теорема про визначник добутку прямокутних матриць (при умові, що добуток є квадратною матрицею ).
Добуток прямокутних матриць
A
{\displaystyle \ A}
B
{\displaystyle \ B}
m
{\displaystyle \ m}
A
{\displaystyle \ A}
n
{\displaystyle \ n}
m
{\displaystyle \ m}
B
{\displaystyle \ B}
Мінори матриць
A
{\displaystyle \ A}
B
{\displaystyle \ B}
n
{\displaystyle \ n}
m
{\displaystyle \ m}
відповідними один одному , якщо номера стовпців в матриці
A
{\displaystyle \ A}
B
{\displaystyle \ B}
Визначник матриці
A
B
{\displaystyle AB\,}
n
<
m
{\displaystyle \ n<m}
m
{\displaystyle \ m}
n
⩾
m
{\displaystyle n\geqslant m}
A
{\displaystyle \ A}
B
{\displaystyle \ B}
i
1
<
i
2
<
…
<
i
m
{\displaystyle \ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m}}
Нехай
A
=
(
a
1
a
2
…
a
n
b
1
b
2
…
b
n
)
,
B
=
(
a
1
b
1
a
2
b
2
⋮
⋮
a
n
b
n
)
.
{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\\end{matrix}}\right),\quad B=\left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}\\\end{matrix}}\right).}
Тоді
A
B
=
(
a
1
2
+
a
2
2
+
…
+
a
n
2
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
…
+
a
n
b
n
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
…
+
a
n
b
n
b
1
2
+
b
2
2
+
…
+
b
n
2
)
,
{\displaystyle A\,B=\left({\begin{matrix}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\\end{matrix}}\right),}
і відповідні мінори мають вигляд
|
a
i
b
i
a
j
b
j
|
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\\\end{matrix}}\right|}
для всіх
i
<
j
{\displaystyle i<j}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
Формула Біне — Коші в даному прикладі дає рівність
(
a
1
2
+
a
2
2
+
…
+
a
n
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
…
+
b
n
2
)
−
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
…
+
a
n
b
n
)
2
=
∑
i
<
j
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
,
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2},}
із якої (у випадку дійсних чисел) випливає нерівність Коші — Буняковського :
(
a
1
2
+
a
2
2
+
…
+
a
n
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
…
+
b
n
2
)
⩾
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
…
+
a
n
b
n
)
2
.
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\geqslant (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}.}
