Мінор матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мінором \ k-го порядку матриці \ A називається визначник матриці, утворений елементами на перетині \ k стовпців та \ k рядків.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай \ A=(a_{ij})матриця розміру \ m \times n, в якій вибрано довільні \ k (k\leqslant n, k \leqslant m)

  • рядків з номерами \ i_1 < i_2 < \ldots < i_k та
  • стовпців з номерами \ j_1 < j_2 < \ldots < j_k.

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку \ k.

Мінор[ред.ред. код]

Визначник матриці, яка одержується з \ A викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором \ k-го порядку, розташованим в рядках з номерами \ i_1, i_2, \ldots, i_k та стовпцях з номерами \ j_1, j_2, \ldots, j_k.


M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} = \det \begin{pmatrix}
  a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \ldots & a_{i_1 j_k} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \ldots & a_{i_k j_k}
\end{pmatrix}.

Доповнювальний мінор[ред.ред. код]

Визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці \ A, у випадку коли отримана матриця буде квадратною, називається доповнювальним мінором до мінору M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k}


\overline{M}^{\,i_1,\ldots,i_k}_{\,j_1,\ldots,j_k}
  = \det \begin{pmatrix}
  a_{i_{k+1} j_{k+1}} & a_{i_{k+1} j_{k+2}} & \ldots & a_{i_{k+1} j_n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{i_n j_{k+1}} & a_{i_n j_{k+2}} & \ldots & a_{i_n j_n}
\end{pmatrix},
де \ i_{k+1} < \ldots < i_n та \ j_{k+1} < \ldots < j_n — номери не вибраних рядків і стовпців.

Мінор елемента[ред.ред. код]

Мінором \ M_{ij} елемента \ a_{ij} квадратної матриці \ A порядку \ n називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника \ |A| n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент \ a_{ij}.

Оточуючий мінор[ред.ред. код]

Нехай \ \Delta_k — деякий мінор порядку \ k матриці \ A. Мінор порядку \ k+1 матриці називається оточуючим для мінора \ \Delta_k, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору \ \Delta_k. Таким чином, оточуючий мінор для мінора \ \Delta_k можна одержати дописуючи нього один рядок і один стовпчик.

Базисний мінор[ред.ред. код]

Базисним мінором ненульової матриці A (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує.

Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого.

Зауваження. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів.

Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.

Теорема Лапласа[ред.ред. код]

Нехай \ A=(a_{ij})квадратна матриця розміру \ n \times n, в якій вибрано довільні \ k рядків.

Тоді визначник матриці \ A рівний сумі всіляких добутків мінорів \ k-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

\det A = \sum_{j_1<\ldots<j_k}M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} A^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k},
де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців \ j_1, \ldots, j_k.

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати k стовпців з n, тобто біноміальному коефіцієнту \textstyle {n \choose k}.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Теорема про базисний мінор[ред.ред. код]

  1. Рядки ненульової матриці \ A на яких будується її базисний мінор \ \Delta_r є лінійно незалежними.
  2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Приклади[ред.ред. код]

  • Розглянемо матрицю A розміру \ m \times n:
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\        
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix},
\qquad
M^{1,2}_{2,3} = \begin{array}{|cc|}
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}\\
\end{array} — мінор 2-го порядку.
Таких мінорів можна скласти {C_m^k} {C_n^k} штук.
  • Мінор \ M_{23} квадратної матриці \ A — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
A = \begin{pmatrix}
\,\,\,1 & 4 & 7 \, \\
\,\,\,3 & 0 & 5 \, \\
-1 & 9 & \!11 \,\\
\end{pmatrix},
\qquad
M_{23} = \begin{vmatrix}
\,\,1 & 4 & \Box \, \\
\,\Box & \Box & \Box \, \\
-1 & 9 & \Box \, \\
\end{vmatrix} \longrightarrow \begin{vmatrix}
\,\,\,1 & 4 \, \\
-1 & 9 \, \\
\end{vmatrix} = \left(9-\left(-4\right)\right) = 13.


Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]