Мінор матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утворений елементами на перетині стовпців та рядків.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай матриця розміру , в якій вибрано довільні

  • рядків з номерами та
  • стовпців з номерами

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку .

Мінор[ред.ред. код]

Визначник матриці, яка одержується з викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором -го порядку, розташованим в рядках з номерами та стовпцях з номерами .

Доповнювальний мінор[ред.ред. код]

Визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці у випадку коли отримана матриця буде квадратною, називається доповнювальним мінором до мінору

де та — номери не вибраних рядків і стовпців.

Мінор елемента[ред.ред. код]

Мінором елемента квадратної матриці порядку називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент

Оточуючий мінор[ред.ред. код]

Нехай — деякий мінор порядку матриці . Мінор порядку матриці називається оточуючим для мінора , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору . Таким чином, оточуючий мінор для мінора можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.

Базисний мінор[ред.ред. код]

Базисним мінором ненульової матриці (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує.

Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого.

Зауваження. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів.

Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.

Теорема Лапласа[ред.ред. код]

Нехай квадратна матриця розміру в якій вибрано довільні рядків.

Тоді визначник матриці рівний сумі всіляких добутків мінорів -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати стовпців з , тобто біноміальному коефіцієнту .

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Теорема про базисний мінор[ред.ред. код]

  1. Рядки ненульової матриці на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними.
  2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Приклади[ред.ред. код]

  • Розглянемо матрицю розміру :
— мінор 2-го порядку.
Таких мінорів можна скласти штук.
  • Мінор квадратної матриці — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:


Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]