Квадратна матриця

Квадратною матрицею порядку n називається матриця, яка має n рядків та n стовпчиків.

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}}$

Числа $\ a_{i,j}$ називаються елементами матриці. Положення кожного елемента в матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення часто позначається індексами.

Наприклад, елемент $\ a_{i,j}$ знаходиться в i-му рядку та j-му стовпчику матриці А.

Підвиди

Становлять інтерес такі квадратні матриці:

• вироджені, невироджені, обернена;
• переставні, подібні, конгруентні;
• нормальні, унітарні/ортогональні, самоспряжені/симетричні, косоермітові/кососиметричні;
• додатноозначені, проекційні;
• діагональні, одиничні.

Для квадратних матриць існують такі важливі характеристики як визначник, слід та ранг.

Також широко використовуються квадратні матриці з цілочисленими елементами в теорії графів.

Поворот відносно початку координат.

Лінійні перетворення векторного простору

Квадратні матриці застосовують для опису лінійного перетворення векторного простору.

$f:V_{K}\to V_{K}\!$

Для запису лінійного перетворення матрицею в лінійному просторі потрібно вибрати базис.

Для дослідження властивостей лінійного перетворення використовують власні вектори та власні значення матриці.

Система трьох рівнянь(3 площини) з трьома невідомими (3-мірність простору). Розв'язком є точка перетину площин.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із невиродженою квадратною матрицею має єдиний розв'язок. Якщо стовпець правої частини нульовий, то система має тільки нульовий розв'язок.

Квадратичні форми

Симетрична квадратна матриця називається додатньо-означеною, якщо асоційована з нею квадратична форма Q(x) = x^TAx

Q_A(x,y) ≥ 0.

Див. також

• Теорія матриць
• Формула Лейбніца для визначників

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)