Ядерний оператор

Ядерне відображення — лінійний оператор $A$ , який відображає один локально опуклий простір $\Pi _{1}$ у другий $\Pi _{2},$ $A:\Pi _{1}\rightarrow \Pi _{2},$ за умови, якщо він представляється у вигляді

$x\mapsto Ax=\sum _{i=1}^{\infty }k_{i}x_{(x)}^{*}y_{i},$

де $\{k_{i}\}$ є сумою числової послідовності, $\{x^{*}\}$ — рівностепенево неперервна послідовність у $\Pi _{1}^{*}$ (спряженому до $\Pi _{1}$ просторі), $\{y_{i}\}$ — послідовність елементів повної обмеженої опуклої закругленої множини у $\Pi _{2};$ значення лінійного функціоналу $x^{*}$ на векторі $x$ тут позначено $x_{(x)}^{*}.$ Таким чином припускається спеціального виду апроксимація операторами скінченного рангу (тобто лінійними неперервними операторами із скінченновимірними образами) по ядерній нормі.

Ядерні оператори з'явилися спочатку як оператори із слідом у квантовій механіці. У гільбертовому просторі між операторами зі слідом та двохвалентними тензорами існує бієкція, слід таким чином оператора збігається з результатом згортання відповідного тензора.

Квантове вимірювання[ред. | ред. код]

Для опису вимірювання стану при довільному квантовому вимірюванні Е. Б. Девіс й Дж. Льюїс (1970) увели поняття інструмента — міри із значеннями у множині перетворень квантових станів. Нехай $Q$ є вимірюваним простором, а ${\mathfrak {B}}(Q)$ — множина всеможливих результатів вимірювання. Інструментом є функція, яка кожній вимірюваній множині $B\in {\mathfrak {B}}(Q)$ ставить у відповідність функцію ${\mathcal {M}}=\{{\mathcal {M}}(B)\,|\,B\in {\mathfrak {B}}\}$ так, що ${\mathcal {M}}(B)$ є неселективною операцією, тобто

$\mathrm {Tr} \,{\mathcal {M}}(Q)[{\mathfrak {Y}}]=\mathrm {Tr} \,{\mathfrak {Y}}\,\,\,\,\forall {\mathfrak {Y}}\in H,$

де ${\mathfrak {Y}}$ — ядерний оператор, $H$ — гільбертів простір.

Якщо $\{B_{i}\}\subset {\mathfrak {B}}(Q)$ — скінченне або зліченне розшарування множини $B\in {\mathfrak {B}}(Q)$ на попарно непересічні підмножини, то