Гільбертів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута.

Означення[ред.ред. код]

Гільбертовим простором називається[1][2] векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних (або , у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

  1. для кожного
  2. тоді і лише тоді, коли
  3. для довільних трьох
  4. , де , - елемент скалярного поля. ( або )
  5. Для довільної послідовності , для якої виконано (умова фундаментальності)
,
знайдеться елемент , що для нього
.
Тоді кажуть, що є границею послідовності .

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: .

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось , хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою .

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору так і ермітового простору

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів виконується рівність За допомогою тотожності паралелограма,

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; - довільні) доводиться, що є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто для будь-якого Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади[ред.ред. код]

1. Простір що складається з сумовних послідовностей комплексних чисел - тобто, послідовностей, для яких

із ермітовим скалярним добутком

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших членів послідовностей і Отож, отримуємо, що

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір — повний і, таким чином, задовільняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі[ред.ред. код]

У будь-якому гільбертовому просторі можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в

Система векторів гільбертового простору що індексується множиною називається ортогональною, якщо для будь-яких і ортонормальною, якщо додатково для будь-якого

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору називається ортонормальним базисом у Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора відносно данного ортонормального базису — це скаляри Вектор повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір стає ізоморфним до

Дійсно, розгляньмо відображення

яке будь-якому вектору ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису Тоді — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля[ред.ред. код]

Припустимо, що — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

де
коефіцієнти Фур'є дійсної функції За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space
  2. В.М.Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво ХНУ, 2004 - с.290

Література[ред.ред. код]

  • Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.
  • Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Наука, 1967. — 416 с.
  • Иосида К. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967. — 624 с.