Децимація (обробка сигналів)
Децимація (від лат. Decimatio, від decem — «десять») — зменшення частоти дискретизації дискретного в часі сигналу шляхом проріджування його відліків.
Відлік — чисельне значення амплітуди сигналу у певний момент часу.
Проріджування відліків може здійснюватися шляхом їх вибіркового видалення з початкового масиву або на основі часткового підсумовування[1] (накопчиення зі скиданням, фільтрації) у фіксованих часових інтервалах — стробах (звідси походить інша назва цієї операції — додаткове стробування відліків АЦП[2]).
Децимація видаленням відліків сигналів
При такій децимації з вхідної послідовності відліків: a0, a1, a2, …
береться кожен N-й відлік (N — ціле число):
- a0, aN, a2N, …; N> 1
решта відліків відкидається. Перетворення спектра при децимації істотно залежить від спектра оброблюваного сигналу:
- Якщо оброблюваний сигнал не містить частот, що перевищують частоту Найквіста сигналу, який децимують, то форма спектра отриманого (децимованого) сигналу збігається з низькочастотною частиною спектра вхідного сигналу. Частота дискретизації, відповідна новій послідовності відліків, в N разів нижче, ніж частота дискретизації вхідного сигналу, і спектр отриманого сигналу масштабований по осі абсцис щодо спектра вхідного сигналу.
- Якщо оброблюваний сигнал містить частоти, що перевищують частоту Найквіста децимованого сигналу, то при децимації буде мати місце аліасинг (англ. aliasing — накладення спектрів).
Таким чином, для збереження спектру необхідно до децимації видалити з вхідного сигналу частоти, що перевищують частоту Найквіста децимованого сигналу. Ця операція проводиться цифровими фільтрами.
Термін «децимація» походить від початкового значення цього слова. Однак є істотна відмінність: якщо в Стародавньому Римі при децимації кожного десятого страчували, то при децимації сигналів кожен N-й відлік, навпаки, залишається.
Децимація на основі додаткового стробування відліків АЦП
Цей метод децимації передбачає формування з серії відліків АЦП одного сумарного відліку, жорстко фіксованого відносно послідовності імпульсів такту АЦП[2].
У разі децимації відліків напруг відеосигналу при цьому результат проріджування описується виразом:
- ,
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbe406ab2a17770171da9c19977bf18b7f1ac0b)
де x[•] — вхідні відліки напруг сигналу до децимації, M — тривалість строба у відліках АЦП.
Для гармонічних сигналів[2]
- ,
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]\ e^{-i2\pi fkT},n=0,1,..,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f055b5099b8594f03b170bbacf865d7f3c42d7e1)
де T — період дискретизації АЦП (інтервал між відліками).
Якщо , то має місце і відповідно[2]
- ,
![{\displaystyle Re(y[n])=\sum _{k=0}^{M-1}(Re(x[nM+k])cos{k\pi /2}+Im(x[nM+k])sin{k\pi /2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f89a9c1323caf91122774fc2e80d821fa8a39cd)
- .
![{\displaystyle Im(y[n])=\sum _{k=0}^{M-1}(Im(x[nM+k])cos{k\pi /2}-Re(x[nM+k])sin{k\pi /2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29e41e563fc0a580886ec5d327d5b447a9449cb)
При отримаємо
![{\displaystyle Im(x[nM+k])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47e755b2ecbcc79d44ff8fe22e0ee7836ac8e13)
- ,
![{\displaystyle Re(y[n])=x[nM]-x[nM+2]+x[nM+4]-...,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b88bb8ba02bf723edf55ca0f97bda42f69bcf5)
- .
![{\displaystyle Im(y[n])=-x[nM+1]+x[nM+3]-x[nM+5]-...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d21c05500866ce1d63e999586bfa23d3acd81bf)
Така обробка дозволяє виконати проріджування відліків сигналу без енергетичних втрат, декорелювати сигнали[3], здійснити цифрову фільтрацію і формування квадратурних складових напруг сигналів (I/Q-демодуляція), реалізувати надрелеївськое розрізнення імпульсних сигналів за часом приходу[2].
Коли аналоговий сегмент приймального тракту не дозволяє достатньо ефективно забезпечити попередню (anti-aliasing) фільтрацію, указаний метод децимації може бути модифікований у вигляді:
- ,
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]h[k]\ e^{-i2\pi fkT},n=0,1,..,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c01164f6242fede5d7bd966a5d502ec090ab148)
де — вектор вагових множників.[4]
![{\displaystyle h[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e944606b94261ca96a82ff41b4b8aade7ff14acc)
В якості прикладу при слід вказати процедуру децимації з непарною тривалістю строба:[5]
![{\displaystyle Re(y[n])=-6[nM+1]+32x[nM+3]-52x[nM+5]+32x[nM+7]-6x[nM+9],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de452e4ea9b7bb323784c716fb92b9df60d78d6e)
![{\displaystyle Im(y[n])=x[nM]-17x[nM+2]+46x[nM+4]-46x[nM+6]+17x[nM+8]-x[nM+10].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6887032c8b54726103528341e776cdfa2f0d785d)
Децимация з використанням КІХ фільтрів
Альтернативним варіантом додаткового стробування відліків АЦП є їх низькочастотна фільтрація з використанням фільтрів з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ або FIR). При цьому з масиву вхідних відліків також формується тільки кожен M-й вихідний відлік як вагова сума напруг початкових відліків з ваговими коефіцієнтами у вигляді дискретної імпульсної характеристики КІХ -фільтра :
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d3756569db36dcd0f869fb9acb8a24781041fc)
де h[•] — імпульсна характеристика, K — її тривалість; x[•] — вхідні відліки напруг сигналу до децимації.
Децимація з дробовим коефіцієнтом проріджування відліків
Така децимація необхідна, наприклад, коли частота дискретизації сигналів некогерентна з частотою радіосигналу.
Для децимації з коефіцієнтом M/L, де M, L ∈ ℤ; M > L, спочатку необхідно провести ітерполяцію відліків за допомогою інтерполюючого фільтру порядка L, а потім виконати їх проріджування з коефіцієнтом M, наприклад, за допомогою описаної процедури додаткового стробування відліків АЦП[2]. Як правило, обидві операції суміщують в одному фільтрі.
Можлива також децимація з ірраціональними коефіцієнтами перерахунку.[6]
Примітки
- ↑ Антипов В.Н., Горяинов В.Т., Кулин А.Н. и др. {{{Заголовок}}}.
- ↑ а б в г д е Слюсар В.И. Синтез алгоритмов измерения дальности М источников при дополнительном стробировании отсчетов АЦП.// Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника.- Том 39, № 5.. — 1996. — С. 55 — 62.
- ↑ Харкевич А.А. {{{Заголовок}}}.
- ↑ Слюсар В. И. Развитие схемотехники ЦАР: некоторые итоги. Часть 2.// Первая миля. Last mile (Приложение к журналу «Электроника: наука, технология, бизнес»). — N2. — 2018. — C. 76 — 80.[1]
- ↑ Слюсар В. И., Живило Е. А. Цифровая фильтрация, эквивалентная тандемному квадратурному дециматору. //VI Международный научно-технический симпозиум «Новые технологии в телекоммуникациях» (ГУИКТ-Карпаты '2013), 21 — 25 января 2013. — Карпаты, Вышков.- C. 41 — 43. [2]
- ↑ Milić, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. с. 192. ISBN 978-1-60566-178-0.
Generally, this approach is applicable when the ratio Fy/Fx is a rational, or an irrational number, and is suitable for the sampling rate increase and for the sampling rate decrease.