Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Зейферта — ван Кампена виражає фундаментальну групу топологічного простору через фундаментальні групи двох відкритих підмножин, що покривають простір.
Названа на честь Герберта Зейферта і Егберта ван Кампена.
Нехай
X
{\displaystyle X}
V
,
U
⊂
X
{\displaystyle V,U\subset X}
W
=
V
∩
U
{\displaystyle W=V\cap U}
X
=
V
∪
U
{\displaystyle X=V\cup U}
p
∈
W
{\displaystyle p\in W}
W
↪
U
,
W
↪
V
,
U
↪
X
,
V
↪
X
{\displaystyle W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X}
породжують гомоморфізми відповідних фундаментальних груп
I
:
π
1
(
W
,
p
)
→
π
1
(
U
,
p
)
{\displaystyle I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)}
J
:
π
1
(
W
,
p
)
→
π
1
(
V
,
p
)
{\displaystyle J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)}
π
1
(
U
,
p
)
→
π
1
(
X
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)}
π
1
(
V
,
p
)
→
π
1
(
X
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)}
Згідно теореми Зейферта — ван Кампена, ці чотири гомоморфізми задають розшарований кодобуток у категорії груп,
тобто
π
1
(
X
,
p
)
=
π
1
(
U
,
p
)
∗
π
1
(
W
,
p
)
π
1
(
V
,
p
)
.
{\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).}
Іншими словами фундаментальна група
π
1
(
X
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(X,p)}
вільним добутком з амальгамацією фундаментальних груп
π
1
(
U
,
p
)
,
π
1
(
V
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(U,p),\ \pi _{1}(V,p)}
I
,
J
.
{\displaystyle I,\ J.}
Якщо дані задання груп
π
1
(
U
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(U,p)}
π
1
(
V
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(V,p)}
π
1
(
U
,
p
)
=
⟨
u
1
,
⋯
,
u
k
∣
α
1
,
⋯
,
α
l
⟩
π
1
(
V
,
p
)
=
⟨
v
1
,
⋯
,
v
m
∣
β
1
,
⋯
,
β
n
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\end{aligned}}}
і
w
1
,
⋯
,
w
s
{\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{s}}
π
1
(
W
,
p
)
{\displaystyle \pi _{1}(W,p)}
π
1
(
X
,
p
)
=
⟨
u
1
,
⋯
,
u
k
,
v
1
,
⋯
,
v
m
|
α
1
,
⋯
,
α
l
,
β
1
,
⋯
,
β
n
,
I
(
w
1
)
J
(
w
1
)
−
1
,
⋯
,
I
(
w
p
)
J
(
w
p
)
−
1
⟩
.
{\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}
Якщо перетин
W
{\displaystyle W}
однозв'язним , то
π
1
(
X
,
p
)
=
π
1
(
U
,
p
)
∗
π
1
(
V
,
p
)
,
{\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),}
тобто фундаментальна група
X
{\displaystyle X}
вільному добутку фундаментальних груп
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
π
1
(
X
1
∨
X
2
)
=
π
1
(
X
1
)
∗
π
1
(
X
2
)
,
{\displaystyle \pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),}
букета
X
1
∨
X
2
{\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}
зв'язних і локально однозв'язних просторів
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
Простір є однозв'язним якщо для нього існує покриття двома однозв'язними відкритими множинами із зв'язним перетином.
Наприклад сферу
X
=
S
2
{\displaystyle X=S^{2}}
U
=
S
2
∖
{
n
}
{\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\}}
V
=
S
2
∖
{
s
}
{\displaystyle V=S^{2}\backslash \{s\}}
n
{\displaystyle n}
s
{\displaystyle s}
W
=
V
∩
U
=
S
2
∖
{
n
,
s
}
{\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}}
W
{\displaystyle W}
В. В. Прасолов . Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — Москва : МЦНМО, 2004. — 352 с.Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267. 
