Фундаментальна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею областях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок в ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

Означення[ред.ред. код]

Нехай топологічний простір, і — точка в , яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень , таких що . Такі функції називаються петлями в точці .

  • Дві петлі і вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.
  • Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:
  • Оберненою до петлі є петля
для . Одиничною петлею буде для кожного .

Добутком двох гомотопічних класів і називається гомотопічний клас добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору з відміченою точкою і позначається .

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

  • Якщо і , то .
  • Для виконується .
  • Для довільної петлі існує і .

Якщо лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати замість не боячись викликати плутанину.

Приклади[ред.ред. код]

  • У , є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто .
  • Одновимірні сфери (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задане число раз, яке може бути додатнім або від'ємним залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна .
  • Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду може бути задана твірними з єдиним співвідношенням: .
  • Фундаментальною групою графа «вісімки» є вільна група з двома породжуючими елементами.

Властивості[ред.ред. код]

  • Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
  • Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
  • Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-мірного многовиду.

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
  2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0