Плоска хвиля

Схематичне зображення плоского фронту хвилі

Плоска́ хви́ля — хвиля, фронт якої є площиною.

Рівняння плоскої хвилі має загальний вигляд:

$u=f(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} -vt)$,

де орт $\mathbf {n}$ задає напрям розповсюдження хвилі, v — швидкість хвилі, f — довільна функція.

Частковим випадком плоскої хвилі є монохроматична плоска хвиля.

Поняття плоскої хвилі є ідеалізацією, оскільки при означенні такої хвилі вважається, що фронт хвилі задається нескінченною площиною, що неможливо для реальних хвиль. Однак, ідеалізація плоскої хвилі широко використовується в різних областях фізики при розгляді хвиль різноманітної природи: звукових, електромагнітних, зокрема світлових та при описі квантових частинок і полів. Хвилю можна вважати наближено плоскою на великій віддалі від джерела.

Найчастіше у фізиці розглядаються гармонічні плоскі хвилі в лінійних середовищах, для яких функція f - синусоїда або суперпозиція кількох синусоїд, однак плоска хвиля не обов'язково повинна бути гармонічною, як, наприклад, у випадку солітона.

Плоска монохроматична однорідна електромагнітна хвиля

Плоскою електромагнітною хвилею називається хвиля, в якої поверхня рівних фаз являє собою площину.

Плоска хвиля називається однорідною, якщо вектори поля ^{${\vec {E}}$} і ^{${\vec {H}}$} при відповідному виборі напрямків осей координат залежать від однієї просторової координати та від часу. Якщо плоска хвиля лінійно поляризована, то напрямки векторів ^{${\vec {E}}$} (і перпендикулярних до них векторів ^{${\vec {H}}$}) у всьому просторі паралельні один одному.

Нехай електромагнітна хвиля поширюється в ідеальному σ=0 однорідному, ізотропному, лінійному, з постійними параметрами діелектрику без електричних зарядів (q=0) і струмів провідності (J=0). Нехай μ=1, а ε=const.

Джерело електромагнітної енергії значно віддалено від точки спостереження. Хвильовим фронтом можна вважати площину z=const. Таку хвилю називають плоскою. Вона може створюватися випроміненням нескінченної площини. Реально — це сферичні хвилі, що знаходяться на великій віддалі від джерела.

Існує підстава вважати, що поле уздовж цієї площини не змінюється, тобто складові ${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}=0$. Хвиля є однорідною.

Використовуючи рівняння Максвелла, можна визначити зв'язок між складовими електромагнітного поля ^{${\dot {\vec {E}}}$} і ^{${\dot {\vec {H}}}$}, швидкістю поширення і структурою ЕМХ, вважаючи, що поле збуджується гармонічним струмом з частотою ω.

Завдяки лінійності середовища вектори ^{${\dot {\vec {E}}}$} і ^{${\dot {\vec {H}}}$} також змінюються за гармонічним законом:

${\vec {H}}(x,y,z,t)={\dot {\vec {H}}}e^{j\omega t}\ =({\vec {i}}{\dot {H_{x}}}+{\vec {j}}{\dot {H_{y}}}+{\vec {k}}{\dot {H_{z}}})e^{j\omega t}$

${\vec {E}}(x,y,z,t)={\dot {\vec {E}}}e^{j\omega t}\ =({\vec {i}}{\dot {E_{x}}}+{\vec {j}}{\dot {E_{y}}}+{\vec {k}}{\dot {E_{z}}})e^{j\omega t}$

^{${\dot {\vec {E}}}$} і ^{${\dot {\vec {H}}}$} є комплексними амплітудами векторів, а їхні проекції на осі координат $H_{x}\$, $E_{x}\ \$ і т. д.) — комплексними амплітудами проекцій.

Поширення плоских хвиль у середовищі без втрат

Таким середовищем є вакуум, а близьким до нього є сухе повітря. На практиці трапляються випадки, коли за умов конкретної задачі втратами можна знехтувати. У всіх цих випадках можна вважати, що йде мова про середовище, в якому σ=0 і tgδ=0.

В цьому випадку $\beta =\omega {\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}$, a=0.

Фазова швидкість плоскої хвилі буде дорівнювати $\upsilon ={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {\omega }{\omega {\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}$

Групова швидкість $\upsilon ={\frac {d\omega }{d\beta }}={\frac {1}{\frac {d\beta }{d\omega }}}={\frac {1}{{\frac {d}{d\omega }}(\omega {\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}})}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{a}\varepsilon _{a}}}}$

З цього видно що в таких середовищах фазова і групова швидкості рівні між собою.

Хвильовий опір $z_{c}={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{\varepsilon _{a}}}}$ є дійсним числом, а вектори ^{${\vec {E}}$} та ^{${\vec {H}}$} зберігаються за фазами:

${\dot {\vec {E}}}_{mx}={\vec {x}}_{0}Ae^{-az}e^{-j\beta z}$

${\dot {\vec {H}}}_{my}={\vec {y}}{\frac {A}{{\dot {z}}_{c}}}e^{-az}e^{-j\beta z}={\vec {y}}_{0}A{\sqrt {\frac {|\varepsilon _{a}|}{\mu _{a}}}}e^{-az}e^{-j\beta z}$

Див. також

• Сферична хвиля
• Монохроматична плоска хвиля

Джерела інформації

Ю.В. Крушевський, Ю.І. Кравцов, В.М. Мізерний Електродинаміка та поширення радіохвиль ч.1 Основи електродинаміки, Вінниця: ВНТУ 2004, 128 с.

П.М. Чернишов В.П. Самсонов М.П. Чернишов Технічна електродинаміка Х.: Прапор, 2006. 290с.