Хвиля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Типова картина хвиль на воді за кораблем.

Хви́ля — існує кілька визначень хвилі:

Поняття «хвиля» широко використовується в повсякденному житті та в багатьох розділах природознавства [2] Це зумовлено тим, що в процесах розповсюдження збурень в різних середовищах і в вакуумі є багато спільних рис. Хвилі можна, наприклад, утворити на поверхні води або на довгій мотузці. Поширення хвиль не супроводжується перенесенням частинок середовища, вони коливаються тільки біля свого положення рівноваги.

У загальному випадку хвилі не обов'язково пов'язані з наявністю речовини. Електромагнітні хвилі у вакуумі є взаємозалежними змінами електричних і магнітних полів, а гравітаційні хвилі є змінами геометрії простору-часу. В таких речовинах, як рідини, гази та тверді пружні тіла поширення збурень супроводжується специфічним рухом частинок середовища. Цей рух забезпечує передачу в просторі збурень без переносу речовини. При розгляді електромагнітних хвиль слід мати на увазі корпускулярно-хвильовий дуалізм їх природи. Згідно з корпускулярно-хвильовим дуалізмом, що є основою квантової механіки будь-яка частка має хвильові властивості, а хвилі випромінюються й поглинаються скінченними порціями — квантами. Однак багато фундаментальних понять для опису хвильових процесів є спільними для всіх типів хвиль.В зв'язку з цим теорія хвиль сформувалася як розділ сучасної фізики, пов'язаний з вивченням властивостей хвиль незалежно від їх фізичної природи. Конкретні приклади для пояснення змісту цих понять в даній статті будуть пов'язані з механічними хвилями.

Загальні властивості[ред.ред. код]

Наповнення конкретним змістом понять, що використовуються для опису хвильових явищ базується на використанні математичних моделей конкретних природних об'єктів. При цьому використовуються як дискретні моделі, в яких об'єкт замінюється сукупністю частинок, так і моделі суцільного середовища. Фізичною основою для виникнення хвильових рухів, тобто переносу збурень від одного місця в об'єкті до іншого, є наявність двох факторів — будь-яка частинка середовища має певну масу і в результаті взаємодії між частинками виникає сила, що намагається повернути частинку в положення рівноваги при відхиленні її з цього положення зовнішньою дією. В результаті частинка починає рухатися до положення рівноваги, збуджуючи сусідні частинки середовища. Так виникає рух, що зумовлює перенос стану і, відповідно, енергії до іншої частини середовища. Самі частинки середовища можудь здійснювати досить складні рухи, але в решті повертаються до положення рівноваги. В реальних середовищах при передачі збурень від однієї частинки до іншої частина внесеної початковим збуренням енергії втрачається, переходячи в тепло. Однак в багатьох випадках при вивченні хвильових рухів ці втрати не враховуються, будучи часто незначними за проміжок певного характерного для хвильового процесу часу. Для характеристики хвильових збурень різної фізичної природи використовують такі поняття як швидкість розповсюдження, напрям, потік енергії. При цьому між напрямком переносу енергіі та характером руху частинок середовища немає прямого зв'язку. Що стосується терміну «швидкість хвилі», то фізично обгрунтоване використання цього терміну можливе лише по відношенню до хвиль, які при розповсюдженні не змінюють форму.

Закономірності переносу збурень по середовищу суттєво залажеть від відносної величини збурень. В зв'язку з цим розрізняють два принципово відмінніх типа хвиль — лінійні і нелінійні хвилі. Для визначення масштабу збурень слід глибоко вивчити властивості середовища, в якому розглядається процес переносу збурень і, перш за все, особливості сил, що визначають взаємодію частинок середовища. В цій статті розглядаються властивості лінійних звиль. Для лінійних хвиль швидкість переносу збурень визначається лише фізичними властивостями матеріалу середовища та геометрією області, в якій збурення розповсюджуються. Граничним значенням для швидкості переносу енергії в будь якому середовищі є швидкість електромагнітних хвиль в вакуумі.

Вивчаючи хвильові явища в різних середовищах ми маємо справу з проявами рухів, що характеризуються величезною різницею в масштабах від мікро до макро явищ.Так до хвильових рухів відносимо хвилі-вбивці на поверхні океану, висота яких може сягати декількох десятків метрів, а також звукові хвилі, з допомогою яких спілкуємося між собою. При передачі інформації пошепки амплітуда зміщень частинок повітря становить всього 5\times10^{-10} см. Така різниця характерна не лише для амплітуд збурень, але і для таких характеристик як довжина хвилі, характерна частота,швидкість переносу енергії збурення, швидкость руху частинок середовища. Так, найменша частота, що сприймається людським вухом як звук становить 20 Гц. В той час як характерна частота світлових хвиль становить \approx 10^{14}Гц.

Математичний опис одновимірних хвиль[ред.ред. код]

Математичні співвідношення для опису хвиль в різного типу матеріальних середовищах базуються на фундаментальному законі сучасної нерелятивіської механіки - на другому законі Ньютона, що формулюється відносно певного елемента середовища. Його маса визначається густиною середовища,а відновлююча сила визначається характером взаємодії між між його частинками. Зв'язок між силовими факторами та деформаціями, що характеризують зміну відстані між частинками середовища, описується характерним для цього середовища рівнянням стану. При моделюванні реальних середовищ при вивченні рухів, пов'язаних з переносом маси, часто використовують модель нестисливого середовища, тобто середовища, в якому силовим впливом неможливо змінити об'єм виділеного елемента. В такому модельному середовищі хвилі не існують.

Як видно з приведеного вище зображення хвиль за кораблями просторова структура збурень може бути досить складною. Тому вивчення особливостей хвильових рухів починають з розгляду найпростіших модельних ситуацій, так званих одновимірних хвиль, коли частинка середовища в цілому або розташована на характерної прямій в ньому при виникненні збурень може рухатися лише в одному напрямку. В цьому випадку всі характеристики хвилі залежать від часу та єдиної просторової координати. Така ситуація може виникнути при розповсюдженні плоских хвиль в нескінченному середовищі. Більш реальними є випадки коли збурення розповсюджуються в струні, чи тонкому пружному стрижні. Одновимірною є також сферично симетрична хвиля.

При формуванні математичних моделей хвильових явищ завжди використовуються певні модельні припущення відносно об'єкту, в якому хвилі розповсюджуються. Так, говорячи про струну, вважають її нескінченно тонкою лінією, будь який відрізок якої має певну масу. Відновлююча сила, що виникає при відхиленні точок струни від положення рівноваги, забезпечується силою, що прикладена вздовж струни (попередній натяг) і вважається сталою. Таким чином такий модельний об'єкт, як струна, характеризується двома фізичними параметрами: лінійна густина \rho, що має розмірність [кг/м], та попереднім натягом T, що вимірюється в ньютонах [н ]. Фізичною величиною, що описує поширення збурень в струні є величина зміщення точок струни перпендикулярно до положення рівноваги. Це зміщення описуємо функцією від координати та часу w(x,t).

Співвідношення другого закону Ньютона для елемента струни приводять до наступного диференціального рівняння в частинних похідних:[3]

\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\,

 

 

 

 

(1)

Тут c^2=\sqrt{\frac{T}{\rho}}. Важливо знати, що при одержанні цього рівняння зроблено припущення:

\left[\frac{\partial w}{\partial x}\right]^2 \ll 1

Це суттєве обмеження на ступінь гладкості збурень в струні. Якщо ця вимога не виконується, в рівнянні руху елементу струни з'являються нелінійні складові. Хвилі стають нелінійними. Цей приклад дозволяє сформулювати важливу вимогу до використання математичних моделей в фізичних проблемах: Завжди пам'ятати про припущення, зроблені при одержанні рівнянь, і в постановці конкретних граничних задач при виборі форми початкових збурень не виходити за межі зроблених припущень.

До такого самого рівняння (1) приходимо при вивченні поздовжніх хвиль в пружному стержні. Так за звичай називають циліндричне пружне тіло, у якого розмір поперечного перерізу значно менший довжини. Якщо зміщення точок стрижня вздовж осі описувати з допомогою функції u(x,t), то співвідношення другого закону Ньютона разом з законом пружності Гука [3] приводять до рівняння:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}

Тут c^2=\sqrt{\frac{E}{\rho}}, де E модуль пружності Юнга, а \rho густина матеріалу стрижня.

Наступний об'єкт, який розглянемо є тонкий пружний стрижень, в якому початкові збурення викликають згинні деформації. При певних припущеннях[3] поширення збурень в такому стрижні теж можна описати функцією w(x,t), яка визначає відхилення від положення рівноваги точок осі стрижня. Фактично маємо ту ж саму за фізичним змістом функцію, що і в випадку вивчення хвиль в струні. Однак, рівняння руху елементу стрижня відрізняється від приведеного вище для струни і має вигляд:


\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\,

 

 

 

 

(2)

І в першому і в другому рівнянні величина c має розмірність швидкості.Для згинних хвиль в стрижні визначення цього параметра через фізичні та геометричні характеристики стрижня приведено в[3]. Однак фізичний зміст цих величин суттєво відрізняється. Суттєво відрізняються і властивості хвиль, що розповсюджуються в цих об'єктах. Ця різниця аналізується в наступних розділах.

Хвильове рівняння[ред.ред. код]

Рівняння (1), що описує розповсюдження збурень в струні, є частинним випадком загального рівняння в частинних похідних, яке називається хвильовим рівнянням. Для збурень в тривимірному середовищі хвильове рівняння в декартових координатах записується в вигляді

\frac {\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac {\partial^2 \phi}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\,

 

 

 

 

(3)

Фізичний зміст введеної функції \phi може бути різним в залежності від фізичних властивостей середовища. Це може бути потенціал швидкостей точок середовища, або збурення тиску. Рівняння такого типу належать до рівнянь гіперболічного типу і всебічно вивчаються в математичній фізиці [4]. На першому малюнку показані поверхневі гравітаційні хвилі на воді. Характер руху в таких хвилях можна описати з допомогою потенціалу швидкостей \phi(x,y,z,t).Однак,для такого типу збурень стисливість води виявляється не суттєвою [5].

При цьому хвильове рівняння заміняється рівнянням Лапласа (права частина в (3) покладається рівною нулю).


Побудова розв'язків граничних задач з заданими початковими умовами для таких рівнянь в загальному випадку є досить складною проблемою . Однак, для одновимірного збурення, яке описується рівнянням (1), маємо унікальну ситуацію коли вдається побудувати загальний розв'язок рівняння. Це рівняння було вперше отримано французьким математиком д'Ламбером у 1747 році. Він же представив його загальний розв'язок у вигляді

w(x,t) = w_1 (x-ct)+w_2 (x+ct).\,

 

 

 

 

(4)

Тут w_1 і w_2 довільні двічі диференційовні функції від вказаних специфічних аргументів. Розв'язок д'Аламбера вказує на принципову особливість хвильового рівняння - сума будь яких двох розв'язків є також розв'язком рівняння. Це частинній випадок принципу суперпозиції, що має місце для всіх лінійних задач математичної фізики. Для певної конкретної форми функції w_1 зміна її в часі показана на рисунку. Видно, що ця функція описує розповсюдження збурення в струні в додатному напрямку осі 0x. Другий доданок в рівнянні (4), очевидно, описує збурення, що розповсюджується в від'ємному напрямку осі 0x. Таким чином, в загальному випадку будь які збурення в струні являють собою суму (суперпозицію) двох збурень, що розповсюджуються в протилежних напрямках. Конкретна форма збурень визначається початковими умовами.

До визначення фазової швидкості збурень в струні

На рисунку представлено зображення відрізку струни в два різні моменти часу. Видно, що збурення переміщується вправо без зміни форми з швидкістю c і саме цією швидкістю визначається відстань між точками, що знаходяться в однаковій фазі відхилення від положення рівноваги. Саме цьому ця швидкість називається фазовою швидкістю хвилі. Графічна ілюстрація до визначення поняття фазової швидкості дозволяє звернути увагу на цікаву особливість хвильового руху в нескінченній струні. Як видно, точки струни, виведені із положення рівноваги зміщенням в додатному напрямку вертикальної вісі, ніколи не перейдуть через положення рівноваги.

Форми хвилі[ред.ред. код]

Форми хвилі, тобто просторовий розподіл збурень, визначається рядом факторів, включаючи просторовий розподіл початкових збурень, властивостями середовища, в якому збурення розповсюджуються, геометричними особливостями області,заповненої середовищем. В деяких випадках, одновимірні хвилі, плоскі хвилі, в процесі розповсюдження збурень форма хвилі не змінюється. Як показано на малюнку говорячи про форму збурення для хвиль, що описуються рівнянням (1), можна дати простір уяві.

Однак слід мати на увазі, що така творча робота має досить формальний характер, оскільки, як відмічалось відносно рівняння(1), воно одержане з використанням певних припущень і наявність в формах хвиль різного типу зломів протирічить зробленим припущенням.

Найбільш цікавими при вивченні хвильових рухів є спеціальні типи хвиль, що виникають при певній часовій залежності їх характеристик. Це так звані гармонічні хвилі, в яких характеристики хвилі змінюються періодично. Як видно з загального розв'язку хвильового рівняння задана часова залежність визначає і залежність координатну. З представлення д'Ламбера випливає такий розв'язок для одновимірних гармонічних хвиль:

w(x,t) = a_1\cos(kx-\omega t)+a_2 \cos(kx+\omega t).\,

 

 

 

 

(5)

Тут параметр \omega називається круговою частотою, а величина k - хвильове число,визначається рівністю k=\frac{\omega}{c}.Величини  a_1 та  a_2 називаються амплітуда амплітудами гармонічних хвиль. Для часових характеристик гармонічної хвилі використовують три параметри: період коливань -  T=\frac{2\pi}{\omega},що вимірюється в секундах, кругову частоту \omega, що вимірюється в радіанах за секунду, та частоту f, що вимірюється в герцах.

В таких особливих хвилях в кожній фіксованій точці збурення змінюється періодично в часі. На рисунку показано рух певної точки струни при розповсюдженні гармонічної хвилі.

Довільна точка середовища в гармонічній хвилі здійснює прості Гармонічні коливання.

Так само в фіксований момент часу збурення в гармонічній хвилі є періодичною функцією координати. Великий інтерес до таких періодичних хвиль зумовлений тим, що в вигляді суперпозиції таких періодичних функцій можна представити будь-яку функцію часу чи просторової координати (ряди чи інтеграли Фурьє). При аналізі розповсюдження гармонічних хвиль формуються основні поняття хвильової динаміки.

Розглянемо для конкретності складову в (5), яка визначає хвилю, що біжить в додатному напрямку осі 0x: w_1=a_1\cos(kx-\omega t)

Якщо спостерігати за певним відрізком струни, то побачимо таку картину зміни в часі стану цього відрізка, яка показана на анімаційному малюнку.

Червоний кружечок, що фіксує максимальне відхилення точки струни від положення рівноваги, біжить по рисунку з фазовою швидкістю хвилі.

Відстань між двома точками,які знаходяться в однаковій фазі збурення (наприклад, між послідовними максимумами чи мінімумами)називають довжиною хвилі. Якщо використати традиційне позначення для цієї характеристики \lambda, то з виразу для w_1 випливає співвідношення k\lambda = 2\pi. Слід відзначити,що поняття довжини хвилі доцільно використовувати лише для гармонічних хвиль. Як було відмічено на самому початку при розповсюдженні хвилі рідко переноситься речовина. Хвильовий процес пов'язаний з переносом енергії. Повний розгляд питання про потік енергії в одновимірній гармонічній хвилі базується не дещо громіздких викладках [3] і тому тут приведемо лише кінцевий результат. Позначаючи потік енергії в напрямку розповсюдження хвилі E_x, маємо

E_x = -T\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial t}. Це співвідношення справедливе для будь якої хвилі в струні. Для гармонічної хвилі w_1(x,t), що біжить в додатному напрямку осі 0x для потоку енергії маємо вираз E=a_1^2Tk\omega\sin^2(kx-\omega t). Для фіксованої точки струни цей потік змінюється в часі, але завжди більший або дорівнює нулю. Важливо, що величина потоку є квадратичною функцією по відношенню до збурення і тому принцип суперпозиції не працює при розгляді енергетичних характеристик хвильових збурень, що складаються з декількох різних хвиль.Величина потоку енергії може бути як більшою так і меншою суми енергій що переноситься кожною хвилею окремо.

Модуляція[ред.ред. код]

Загальний вираз для опису зміни в часі і по координаті певного параметру  a(x,t) одновимірної гарммонічної хвилі має вигляд: a(x,t)=A_0 cos(kx-\omega t -\phi). Параметри, що визначають властивості хвилі, амплітуда A_0, частота  \omega,фаза \phi вважаються сталими. Така хвиля не може передати інформацію. Для передачі корисної інформації використовують різні методи зміни параметрів гармонічної хвилі. Такий процес зміни параметрів гармонічної хвилі називають модуляцією. В залежності від того, який параметр змінюється при формуванні корисного сигналу розрізняють амплітудну модуляцію,частотну модуляцію та фазову модуляцію.


Фазова швидкість і групова швидкість[ред.ред. код]

Як видно з виразів, що описують хвильові процеси в струні, при зміні частоти \omega змінюється лише довжина хвилі, але фазова швидкість залишається незмінною. Ця обставина зумовлює те, що в струні енергія збурення переноситься з цією незмінною фазовою швидкістю незалежно від форми збурення. Для багатьох хвильових процесів така поведінка хвиль не спостерігається. Можливо найбільш простий випадок одновимірного хвильового руху, в якому вказана властивість не має місця, пов'язаний з згинними хвилями в пружному стрижні. Рівняння для опису хвиль в ньому приведено вище (див. рівняння (2 )). Перш за все слід звернути увагу на те, що для цього рівняння загального розв'язку в формі д'Аламбера не існує. Однак, легко переконатися, що в стрижні можуть розповсюджуватися гармонічні хвилі. Якщо шукану функцію прогину стрижня представити в вигляді w(x,t)=W(x)e^{i\omega t}, то для амплітудних значень збурень одержуємо звичайне диференціальне рівняння \frac{d^4 W}{ dx^4}=\frac{\omega^2}{c^2}W.Якщо для зручності ввести позначення  k^4=\frac{\omega^2}{c^2} його загальний розв'язок набуває виду

 W(x) = A_1 e^{ikx}+A_2 e^{-ikx}+ A_3 e^{kx}+A_4 e^{-kx}\,.

 

 

 

 

(6)

Враховуючи прийняту часову залежність для збурень знаходимо, що в стрижні дійсно існують розв'язки в вигляді біжучих в протилежних напрямках хвиль  w(x,t)=a_1\cos(kx-\omega t)+ a_2\cos(kx+\omega t).І хоч зовні цей вираз нагадує вираз, що представляє розв'язок д'Аламбера для струни, тут ми маємо справу з принципово іншими хвилями. Різниця між гармонічними хвилями в струні і стрижні виявляється при визначенні фазової швидкості. Якщо в випадку струни ця швидкість не залежала від частоти, то зараз з врахуванням прийнятих позначень маємо c_f=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\omega c}. Фазова швидкість цих хвиль залежить від частоти. Це явище залежності фазової швидкості від частоти в теорії хвильових рухів називають дисперсією хвиль. Розрізняють два типи дисперсії. При зростанні фазової швидкості з частотою говорять про аномальну дисперсію. Зменшення фазової швидкості з частотою характеризує нормальну дисперсію. Дисперсія хвильових рухів може бути зумовлена фізичними властивостями середовища (дисперсійне середовище) або геометрією області, в якій формується хвильове поле (наприклад, хвилевід). Саме наявність дисперсії при поширенні хвиль різних частот зумовлює відсутність в цьому випадку розв'язку основного рівняння в формі Даламбера. Розповсюдження в середовищі гармонічних хвиль з різними значеннями фазових швидкостей ставить питання про швидкість переносу енергії хвилями в такому середовищі. Першим кроком до формування відповіді на це питання є дослідження хвильового руху, що формується суперпозицією двох гармонічних рухів з різними частотами в дисперсійному середовищі. Для одномірного випадку такий рух можемо представити в вигляді:

w(x,t)=a\cos(\omega_1 t -k_1 x)+a\cos(\omega_2 t -k_2 x)=
2a\cos\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t -\frac{k_2-k_1}{2}x\right)\cos\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t-\frac{k_2+k_1}{2}x\right).

Для простоти в розглядаємо випадок, коли амплітуди гармонічних хвиль однакові. Це чисто математичне перетворення дає можливість розглядати суперпозицію двох хвиль, як хвильовий рух з високою (сумарною) частотою модульований низькочастотним (з різницевою частотою) хвильовим рухом. На рисунку показана анімація такого складного руху.

Дисперсія поширення збурення, що складається з гармонічних хвиль, в яких фазова швидкість залежить від частоти. Червона точка рухається з фазовою швидкістю, а зелена -- з груповою.

Видно що в збуренні формується ряд періодично повторюваних груп, що поширюються зі швидкістю c=\frac{\omega_2-\omega_1}{k_2-k_1}. Якщо спрямувати різницю хвильових чисел в цьому виразі до нуля, приходимо до класичного кінематичного визначення групової швидкості дисперсійних хвиль:

c_g=\frac{d\omega}{dk}. Враховуючи дисперсійне співвідношення для згинних хвиль в стрижні k^2=\frac{\omega}{c} знаходимо c_g=2\sqrt{\omega c}=2c_f.Тобто, групова швидкість згинних хвиль в пружному стрижні вдвічі перевищує фазову швидкість, і більш того, необмежено зростає з ростом частоти. Цей нефізичний висновок пов'язаний з тим, саме рівняння для хвиль в стрижні було виведено з використанням припущень про малість характерного розміру поперечного перерізу стрижня по відношенню до довжини хвилі. Тому вказане рівняння просто непридатне для фізичного аналізу процесу розповсюдження високочастотних збурень.

Порівняння форми збурень в струні та згинно деформованому стрижні.Форма збурень в струні показана штриховою лінією.

Для ілюстрації впливу дисперсії на розповсюдження збурень на малюнку показано хвильову картину для трьох моментів часу в струні та стрижні, в якому розповсюджуються згинні хвилі. Тут чітко видно як руйнується початкова форма збурення при наявності дисперсії. Характер дисперсії такий, що короткі хвилі випереджають довгі. Більш детальний аналіз представлених даних приведено в [6]

Уважний читач легко помітив ще одне протиріччя в викладі. Представлена анімація для ілюстрації поняття групової швидкості показує, що групова швидкість менша за фазову, що протирічить зробленому вище висновку. Справа в тому, що наведена анімація відповідає іншому дисперсійному співвідношенню, характерному для хвиль на поверхні водіі приведена тут лиш для унаочнення суперпозиції гармонічних хвиль. Характер дисперсії в хвилях на воді такий, що на відміну від вказаного випадку згинних хвиль в стрижні, першими до спостерігача будуть приходити довгі хвилі (нормальна дисперсія).

Більш глибоке розуміння сутності поняття групової швидкості можна одержати, розглянувши так зване енергетичне визначення цього поняття. Його можна знайти в посібнику[3] Для більш складних хвиль в пружних тілах кінематичне та енергетичне визначення групової швидкості приведено в книзі [7]. Саме в пружних хвилеводах можна зустрітися з такими специфічними хвилями, в яких фазова та групова швидкості мають протилежні напрямки [7]. Характер руху в такого типу хвилях показано на анімаційному малюнку.

Демонстрація хвилі з протилежними напрямками групової і фазової швидкістей.





Відбиття хвиль[ред.ред. код]

При розгляді хвильових збурень в нескінченній струні встановлено, що задані збурення одного напрямку (знаку) (всі точки струни зміщені або в верх, або вниз) при розповсюдженні не переходять через положення рівноваги. Цей факт фізично пояснюється специфікою співвідношення напрямку руху частинок струни(вертикально) та напрямку сили попереднього натягу (горизонтально). Однак в реальних скінченних струнах спостерігається перехід точок через положення рівноваги. Така поведінка скінченної струни визначається особливістю поведінки хвиль при відбитті від точок закріплення. На приведеному малюнку особливість цього процесу відбиття чітко виражена. Ми бачемо «переворот» хвилі при відбиття з повним збереженням форми збурення.

Відбиття хвилі в струні від закріпленого кінця.

Така проста ситуація не завжди має місце. Процес віюбиття хвилі від закріплення може приводити до виникнення нових хвиль і суттєвої зміни форми збурення. Як приклад, розглянемо відбиття згинної хвилі в пружному стрижні від закріпленого кінця. Перш за все треба визначитися з тим, як умови закріплення відображаються в термінах функції w(x,t), що описує відхилення точок осі стрижня від положення рівноваги. Фізично зрозуміло, що на відміну від струни, закріплення срижня в певній точці x=x_0 можна здійснити двома способами. Можна закріпити точку на осі стрижня, але дозволити вільно повертатися його поперечному перерізу. Таке закріплення називають шарнірним. В термінах функції w(x,t) такі фізичні умови виражаються співвідношеннями w(x,t)=0,\frac{d^2 w(x,t)}{dx^2}=0, x=x_0. Якщо в другому випадку закріплення здійснити так, щоб заборонялись як зміщення точки на осі стрижня, так і поворот поперечного перерізу (жорстке закріплення) то одержуємо такі граничні умови w(x,t)=0,\frac{dw(x,t)}{dx}=0, x=x_0.

Розглянемо таку ситуацію, коли гармонічна згинна хвиля в напівнескінченному стрижні приходить із нескінченності до точки закріплення з координатою x=0. З урахуванням напрямку розповсюдження функція, що описує відхилення точок осі стрижня від положення рівноваги має вигляд w_i(x,t)=a_0 \cos(kx+\omega t). Для першого (шарнірного) випадку закріплення кінця стрижня відбита хвиля знаходиться досить просто і має вигляд w_r(x,t)=-a_0 \cos(kx-\omega t). Обидві граничні умови w(x,t)=0,\frac{d^2 w(x,t)}{dx^2}=0, x=0 очевидно виконані для функції w(x,t)=w_i(x,t)+w_r(x,t). Це сумарне збурення легко представити в явному вигляді w(x,t)=-2a_0\sin kx\sin \omega t. На відміну від біжучих хвиль в одержаному збуренні є точки на осі стрижня kx_n=n\pi, що не відхиляються від положення рівноваги. Такі специфічні типи збурень називають стоячими хвилями. Такі хвилі формуються при суперпозиції двох гармонічних хвиль з однаковими амплітудами, що біжать назустріч одна одній. Характер руху в такій хвилі показано в анімаційному малюнку. «Закріплені» точки (вузлові точки) на малюнку відмічено червоним.

Стояча хвиля.

Принципово відмінна ситуація виникає при аналізі процесу відбиття згинної хвилі в другому випадку граничних умов (жорстке закріплення). Перш за все з'ясовується, що виконати дві граничні умови лише з використанням відбитої біжучої хвилі неможливо. Тому слід використовувати додатково експоненціально зростаючі та спадаючі складові загального розв'язку (6).Для запобігання громіздких виразів для якісного аналізу ситуації використаємо комплексне представлення розхв'язку (6). Падаючу хвилю представимо в вигляді w_i(x,t)=a_0 e^{ikx+i\omega t}. Відбите від жорстко закріпленого кінця поле конструюємо в вигляді w_r(x,t)=a_1e^{-ikx +i\omega t}+ a_2e^{-kx+i\omega t} . Виконавши умови жорсткого закріплення шуканий розв'язок представимо в вигляді:

w_r(x,t)=-\frac{1+i}{1-i}a_0e^{-ikx +i\omega t}+\frac{2i}{1-i}a_0e^{-kx+i\omega t}.

Таке складне перетворення виконано лише для того, щоб найпростішим шляхом показати механізм формування та характер нового типу гармонічних хвиль — неоднорідних гармонічних хвиль. Це друга складова в приведеному виразі. Для них характерна локалізація збурення поблизу границі з експоненціальним спаданням величині збурень в область існування хвиль. Такі хвилі виникають при розгляді широкого кола задач хвильової динаміки [7].

Плоскі хвилі[ред.ред. код]

При розгляді одновимірного хвильового рівняння приведено його загальніий розв'язок в формі ДАламбера (4). Подібний за фізичною суттю розв'язок існує і для загального тривимірного хвильового рівняння (3). Розглянемо тривимірний простір,положення точок якого задаються декартовими координатами, x,y,z, з відповідними одиничними векторами  i,j,k. Визначимо в ньому певний напрямок одиничним вектором n=icos\alpha + jcos\beta + kcos\gamma , так що cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1. Тоді легко перевірити, що вирази

\phi(x,y,z,t)= \phi(xcos\alpha+ycos\beta+zcos\gamma \pm ct)\,

 

 

 

 

(7)

є розвязками загального хвильового рівняння (3). Оскільки співвідношенням xcos\alpha+ycos\beta+zcos\gamma = d, де величина d деяка стала, визначається площина в просторі, перпендикулярна вектору n, то всі точки цієї площини знаходяться в однаковій фазі збурення при розповсюдженні хвиль (7). Такі хвилі називаються плоскими. На відміну від одновимірного випадку сума двох хвиль (7) не є загальним розв'язком тривимірного хвильового рівняння.При розповсюдженні і взаємодії з перешкодами двох і трьохвимірних хвиль крім біжучих хвиль генеруються неоднорідні хвилі. В частинному випадку гармонічної хвилі загальне представлення для характеристик плоских хвиль використовують в вигляді

\phi(x,y,z,t)= A_0\exp\{iK(xcos\alpha+ycos\beta+zcos\gamma) \pm i\omega t\}\,

 

 

 

 

(8)

Тут K=\frac{\omega}{c} є хвильове число. Такі гармонічні хвилі з фіксованою частотою називають монохроматичними плоскими хвилями.Моделі плоских хвиль широко використовуються в задачах акустики та електординаміки при вивченні процесів розсіювання хвиль різними перешкодами.

Електромагнітні хвилі[ред.ред. код]

На відміну від механічних хвиль, в яких розповсюдження збурень пов'язане з рухом матеріальних частинок, електромагнітні хвилі, що генеруються при русі електричних зарядів, можуть поширюватися в вакуумі. В залежності від діапазону частот розрізняють різні типи хвиль, такі як світлові хвилі, радіохвилі, рентгенівське випромінювання та ін.

Зміна електричної та магнітної компоненти в плоскій електромагнітній хвилі.

Ці хвилі можуть розповсюджуватися також в різних матеріальних середовищах. При цьому швидкість хвиль залежить від їх фізичних властивостей. Швидкість електромагнітних хвиль в вакуумі є постійною,незалежною від руху джерела, і її часто називається швидкістю світла.

За сучасними даними швидкість світла в вакуумі дорівнює такій величині c_0=299792458 м/с. На приведеному малюнку показано характер зміни електричної та магнітної компоненти гармонічної плоскої електромагнітної хвилі.

За винятком вказаної здатності розповсюдження в вакуумі, електромагнітні хвилі мають всі ті властивості, які були вказані для механічних хвиль. Більш детально властивості електромагнітних хвиль розглянуто в статті електромагнітне випромінювання.

Галерея[ред.ред. код]

Хвильові рухи це надзвичайно цікаве явище природи. В цьому розділі покажемо декілька прикладів, що ілюструють прояви та особливості хвильових рухів з короткими коментарями.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • І. М. Кучерук, І. Т. Горбачук, П. П. Луцик (2006). Загальний курс фізики: Навчальний посібник у 3-х т. Київ: Техніка. 
  • В. Т. Грінченко, І. В. Вовк, В. Т. Маципура (2007). Основи акустики: Навчальний посібник. Київ: Наукова думка. 
  • М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики:Навчальний посібник. Київ: Либідь. 
  • Джеймс Лайтхилл (1981). Волны в жидкости. Москва: Мир. 
  • В. Т. Гринченко, В.В.Мелешко (1981). Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка. 


  • Вакуленко М. О. Тлумачний словник із фізики / М. О. Вакуленко, О. В. Вакуленко. — К. : Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2008. — 767 с.

[1]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Стоячі хвилі не переносять енергію
  2. Б.Б.Кадомцев, В.И. Рындик (1981). Волны вокруг нас. Москва: "Знание". 
  3. а б в г д е В. Т. Грінченко, І. В. Вовк, В. Т. Маципура (2007). Основи акустики: Навчальний посібник. Київ: Наукова думка. 
  4. name="perestyuk" />М.О.Перестюк, В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики: Навчальний посібник. Київ: Либідь. 
  5. name="lightchil"/>Дж. Лайтхил (1981). Волны в жидкости. Москва: Мир. 
  6. В. Т. Грінченко, І. В. Вовк, В. Т. Маципура (2007). Основи акустики: Навчальний посібник. Київ: Наукова думка. 
  7. а б в В. Т. Грінченко,В. В. Мелешко (1981). Гармонические колебания и волны в упругих телах. Київ: Наукова думка.