Нормальна форма Сміта

Нормальна форма Сміта — це діагональна (не обов'язково квадратна матриця над областю головних ідеалів, кожен наступний діагональний елемент якої ділиться на попередній. Будь-яку матрицю над областю головних ідеалів можна привести до нормальної форми Сміта множенням зліва і справа на оборотні матриці.

Формулювання

Для будь-якої матриці $A$ розміру $m\times n$ над областю головних ідеалів $R$ існують такі оборотні над $R$ матриці $B$ і $C$, що $BAC=diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)$, де $g_{i+1}$ ділиться на $g_{i}$. Тут $diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)$ позначає матрицю розміру $m\times n$ з зазначеними діагональними елементами та іншими нулями.

Застосування

З теореми про нормальну форму Сміта випливає відома теорема про структуру скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів. Зокрема, якщо $R$ — кільце цілих чисел, то з нормальної форми Сміта виходить теорема про будову скінченнопороджених абелевих груп, а якщо $R=F[t]$ — кільце многочленів над алгебрично замкнутим полем $F$, то з неї можна вивести теорему про жорданову форму лінійного оператора.

Див. також

• Ермітова нормальна форма

Література

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.