Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85adbab319018096abb6e6a3511c86c5fdca8c24)
де a0 є ціле число, а всі інші
an є натуральними числами.
Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом.
Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді , коли воно раціональне.
Розклад в ланцюговий дріб
Будь-яке дійсне число
може бути представлене ланцюговим дробом
, де
![{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,x_{0}=x-a_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622c7e652b0344b5c7562b1a9d26bbc9408b1f76)
![{\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd0b6ef1e271d4338345b8eb0aaed1eb3761c91)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
![{\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7f0ac9c6e7c2768f53e34dbfd8e80de40d0429)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
де
позначає цілу частину числа
.
Для раціонального числа
цей розклад завершиться після одержання нульового
для деякого n. В цьому випадку
представляється скінченним ланцюговим дробом
.
Для ірраціонального
всі величини
будуть ненульовими и процес розкладу можна продовжувати нескінченно.
Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
STOP
|
|
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
|
|
Приклади розкладу
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec4d08b565377b9b786c48d09bd265d62339d27)
якщо проте використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
![{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f23994e498656f66fb9816ae0552e614d3dc606)
Якщоn ціле число більше одиниці,
![{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9300eaa2249242899b558c212ec68b894e145c0)
Якщо також n парне:
![{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3nk+(n-1)/2,6n(2k+1),3nk+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7222c456814274efb4e7466b92e7188c6cc56fdf)
при n = 1:
![{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7294bd4d9dbd7dc9da013e7ef5460b9ae2090b)
![{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0df662123397b172ca5ee153a3fcd6a70dc4b22)
якщо n додатне число; також
![{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e795628edf98f19bdbc0fe7226564246502ce7f3)
якщо n > 1,
![{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74779fe0de779364a1e623ab1d54435d87d4cd2d)
Властивості
- Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
![{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98743ad222391cf25b16758fa4af94a5ca96b69c)
- Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
- Наприклад:
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080bc545333b2f78ea7a6d2c7a5ad84134a5b85b)
- золотий поділ
![{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa7df60be727c058cf8c5beb6faf47a635c6077)
- Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
- Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2.6854520010...)
n-им наближеним дробом для ланцюгового дробу
, називається скінченний ланцюговий дріб
, значення якого можна подати
.
![{\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9f03488b95785dfb47a98869d0848f2599333f)
![{\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ed809707a055696e141280b862b385fb607dcb)
![{\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfefe7688f2bc7beb8a1f048acf8b842ae8ec4e)
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12521efb7dae08114adbb9e993717e1bbe9470e9)
Звідси випливає наступне твердження:
- наближений дріб
є найкращим наближенням для
серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує
;
Застосування
- при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
![{\displaystyle {\frac {1}{4}};{\frac {7}{29}};{\frac {8}{33}};{\frac {31}{128}};{\frac {132}{545}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fea3ad70d6f96ffb80ad36e57c21a412bee7b1)
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.
Література
- В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»)
- А. А. Бухштаб. Теория чисел. — Просвещение, 1966. — 384 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
- С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — 2009. — 138 с.
- И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Просвещение, 1965. — С. 253—254.
- Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М. : Наука, 1965.
- С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.
- Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants. Berlin: Springer-Verlag; 1991. - VIII + 551 pages. / Chapter 4. Golden Age. Pages 97-140.
- G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383-421
- J. Widž. From the History of Continued Fractions // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176–181, 2009