Дзета-функція Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дзе́та-фу́нкція Рі́мана визначена за допомогою ряду:

.

У області , цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

,

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

Властивості[ред.ред. код]

  • Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:
,

де число Бернуллі. Зокрема,

,
.

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

  • При

де функція Мебіуса

де — число дільників числа

де — число простих дільників числа

  • допускає аналітичне продовження на всю комплексну -площину і є регулярною функцією для всіх значень , крім , де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
    • Аналітичне продовжена дзета-функція при задовольняє рівняння:
,

де Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

  • Для функції
введеною Ріманом для дослідження і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду

Нулі дзета-функції[ред.ред. код]

Основна стаття: Гіпотеза Рімана

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

,

функція має лише прості нулі у від'ємних парних точках: . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі при дійсних . Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі і лежать у смузі , яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції знаходяться на прямій .

Історія[ред.ред. код]

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел. Проте найбільш глибокі властивості функції дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Посилання[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.