Ірраціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину \mathbb I =\R \backslash \Q, де \R — множина дійсних чисел, а \Q — множина раціональних чисел.

Уперше виникли в геометрії при вивченні довжин. Геометрично ірраціональне число виражає собою довжину відрізка, неспівмірного з відрізком одиничної довжини. За легендою, піфагорці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх філософії, цілком побудованій на натуральних числах, вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці і навіть покарали на смерть одного з членів свого братства, який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.

Відмінності в записі раціональних та ірраціональних чисел[ред.ред. код]

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину. Наприклад,

{1\over 3}=0,(3), де (3) означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду — один.
{22\over 7}=3,(142857), довжина періоду — шість.

Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. При розкладанні ірраціональних чисел у десятковий дріб не спостерігається такої періодичності. Наприклад, відомо, що число пі \pi=3,1415926\ldots — ірраціональне, і навіть трансцендентне. Тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та комбінації цифр повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Існує інший спосіб задання додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. У цьому разі, різниця між раціональними та ірраціональними числами полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а ірраціональних нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади.

 \frac{355}{113}=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{16}},

скінченний;

\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ldots}}}=
[1;2,2,2\ldots]=[1;(2)],

з періодом довжини один;

\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\ldots}}}}=
[1;1,2,1,2\ldots]=[1;(1,2)],

з періодом довжини два;

 \pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\ldots}}}}=
[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots]

(A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

Філософське значення[ред.ред. код]

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа \sqrt 2 (перше знайдене ірраціональне число).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію, в свою чергу, можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число, дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1, тобто \sqrt{2}\approx 1,4142135, не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості[ред.ред. код]

  • Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.
  • Кожне ірраціональне число визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому класі немає найменшого раціонального числа.
  • Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.
  • Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).
  • Множина ірраціональних чисел — незліченна множина другої категорії.


Топологічні властивості[ред.ред. код]

Підпростір \R \setminus \Q евклідового простору \R має наступні властивості:

Література[ред.ред. код]

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 вид.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3 

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність