Ірраціональні числа

Математична константа пі (π) є ірраціональним числом.

Число $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ є ірраціональним числом.

Ірраціональні числа (позначення для множини — $\mathbb {I}$) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: $\mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел ${\frac {z}{n}}$ ($z\in \mathbb {Z}$, $n\in \mathbb {N}$), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легенда^{[джерело?]}, виявили неспівмірність з одиницями вимірювання деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи то першим знайшов, чи то розголосив цей факт.

Відмінності записування дійсних чисел

Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:

• ${\frac {1}{3}}={}.{\overline {3}}$, що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто $3$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\frac {22}{7}}=3.{\overline {142857}}$, що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто $142857$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\frac {265}{132}}=2.00{\overline {75}}$, що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто $75$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\frac {5}{2}}=2.5\equiv 2.5{\overline {0}}$, скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих», тобто $0$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\frac {3}{1}}=3.{}\equiv 2.{\overline {9}}$, ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді», тобто $9$ повторюється нескінчену кількість разів.

Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади

Квадратні корені

Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.

Приклади

${\frac {355}{113}}=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16}}}},$ — скінченний;

${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}=[1;2,2,2\ldots ]=[1;(2)]$ — з періодом довжини один;

${\sqrt {3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1;1,2,1,2\ldots ]=[1;(1,2)]$ — з періодом довжини два;

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ldots }}}}}}}}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots ]$ (A001203 в енциклопедії цілих послідовностей [Архівовано 5 березня 2007 у Wayback Machine.]) — неперіодичний.

Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа ${\sqrt {2}}$ (перше знайдене І. ч.).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З'ясування того, що ${\sqrt {2}}\approx 1{,}4142135$ не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості

• Будь-яке дійсне число можна записати нескінченним десятковим дробом, проте тільки І. ч. записують неперіодичними десятковими дробами.
• Сума двох додатних І. ч. може бути раціональним числом.
• Кожне І. ч. визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел $\mathbb {Q}$, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому — найменшого числа.
• Кожне І. ч. є або алгебраїчним, або трансцендентним. Кожне дійсне трансцендентне — ірраціональним.
• Множина І. ч. скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними числами є І. ч. (і навіть нескінченно багато).
• Порядок на множині І. ч. — ізоморфний порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.
• Множина І. ч. є незліченною, другої категорії.

Топологічні властивості $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$

• є підпростором евклідового простору $\mathbb {R}$;
• є G_δ-множиною, але не F_σ-множиною в $\mathbb {R}$, фактично: $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\bigcap _{\alpha \in \mathbb {Q} }(\mathbb {R} \setminus \{\alpha \})$;
• є метричним простором, цілком нормальним і паракомпактним;
• є повним простором другої категорії;
• є сепарабельним простором;
• задовольняє другу аксіому зліченності;
• не є локально-компактним і σ-локально-компактним;
• є цілком відокремленим;
• є щільним у собі;
• не є розсіяним;
• є нульвимірним.

Див. також

• Міра ірраціональності

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446