Цілі числа

Ці́лі чи́сла — в математиці елементи множини $\mathbb {Z} =\lbrace \ldots -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\,\ldots \rbrace$, яка утворюється замиканням натуральних чисел відносно віднімання. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно додавання, віднімання та множення.

Множина цілих чисел складається з

• множини натуральних чисел $\mathbb {N}$,
• нуля — розв'язку $x=0\,$ рівняння $a+x=a,\ a\in \mathbb {N}$,
• множини від'ємних чисел — множини розвязків $x=-a\,$ усіх рівнянь виду $a+x=0,\ a\in \mathbb {N}$.

Позначення

Для позначення множини цілих чисел використовується символ ℤ, який може в різних авторів використовуватися для позначення групи множин: ℤ⁺, ℤ₊ або ℤ^> для позначення додатних цілих чисел, ℤ^≥ для не від'ємних цілих чисел, ℤ^≠ для всіх цілих чисел крім нуля. Деякі автори використовують позначення ℤ^* для всіх цілих чисел крім нуля, інші для позначення не від'ємних цілих чисел, або для {–1, 1}.

Алгебраїчні властивості

Цілі числа можна розглядати як дискретні, рівномірно розподілені точки на нескінченно довгій числовій осі. На зображенні, не-від'ємні цілі показано фіолетовим, а від'ємні числа показано червоним.

• $\mathbb {Z}$ не є замкнута відносно ділення двох цілих чисел (наприклад, 1/2).
• $(\mathbb {Z} ,+)$ є абелевою групою.
• $(\mathbb {Z} ,*)$ є комутативним моноїдом.
• $(\mathbb {Z} ,+)$ — єдина нескінченна циклічна група.
• $(\mathbb {Z} ,+,*)$ є комутативним кільцем (це слідує з двох вищеперечислених властивостей).
• $(\mathbb {Z} ,+,*)$ не є полем. Найменше поле, що включає цілі числа є множина раціональних чисел $\mathbb {Q} .$

Теоретико-множинні властивості

• $\mathbb {Z}$ — зліченна множина.
• $\mathbb {Z}$ — лінійно впорядкована множина без верхньої та нижньої межі.

Ознаки подільності чисел в десятковій системі

Ціле число ділиться націло на:

• 2, якщо остання цифра парна;
• 3, якщо сума цифр ділиться на 3;
• 4, якщо число з останніх двох цифр діляться на 4;
• 5, якщо остання цифра — 0 або 5;
• 6, якщо число ділиться на 3 і на 2;
• 8, якщо число з останніх трьох цифр діляться на 8;
• 9, якщо сума цифр ділиться на 9;
• 10, якщо остання цифра — 0.