Квадратура круга

Круг і квадрат однакової площі

Квадратура круга — задача, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею до заданого круга.

Поруч із трисекцією кута та подвоєнням куба, є однією із найвідоміших задач, які неможливо розв'язати за допомогою циркуля та лінійки.

Нерозв'язність

Якщо прийняти за одиницю вимірювання радіус кола і позначити x довжину сторони шуканого квадрата, то задача зводиться до розв'язання рівняння: $x^{2}=\pi$, звідки: $x={\sqrt {\pi }}$. Як відомо, за допомогою циркуля та лінійки можливо виконати всі 4 арифметичні дії та видобуток квадратного кореня; звідси виходить, що квадратура круга можлива тоді й тільки тоді, коли за допомогою скінченного числа таких дій можна побудувати відрізок довжини $\pi$. Отож нерозв'язність цієї задачі витікає з неалгебричності (трансцендентності) числа $\pi$, яка була доведена в 1882 Ліндеманом.

Однак цю нерозв'язність слід розуміти як нерозв'язність при використанні тільки циркуля та лінійки. Задача стає розв'язною, якщо, крім циркуля та лінійки, використовувати інші засоби (наприклад, квадратрису).

Приблизний розв'язок

В задане коло вписується квадрат. До потроєного діаметра кола додається п'ята частина сторони цього квадрата. Довжина відрізка відрізняється від довжини кола менше ніж на $1/17000$.

Метафора «Квадратура круга»

Математичне доведення неможливості квадратури круга не заважало багатьом ентузіастам витрачати роки на розв'язання проблеми. Марність досліджень з розв'язання задачі квадратури круга перенесла цей вираз у багато інших галузей, де він просто позначає безнадійне, безглузде або марне починання.

Див. також

• Квадратриса
• Побудова за допомогою циркуля та лінійки
• Трисекція кута
• Подвоєння куба

Література

• Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія «Популярні лекції з математики», випуск 62.