Квадратриса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Рис. 1. Кінематичне визначення квадратриси

Кінематичне визначення[ред.ред. код]

Розглянемо квадрат (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка рівномірно рухається по дузі від точки до точки ; одночасно відрізок рівномірно рухається з позиції в позицію . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса та відрізка опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої[ред.ред. код]

Рис. 2. Квадратриса

Трисекція кута[ред.ред. код]

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

  1. Знаходимо точку на квадратрисі і її ординату .
  2. Відкладаємо на відрізку його третю частину; отримаємо точку .
  3. Знаходимо на квадратрисі точку з ординатою .
  4. Проводимо промінь . Кут  — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга[ред.ред. код]

Рис. 3. Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса . Алгебраїчно це означає рішення рівняння : .

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса її нижньої точки дорівнює . Відобразимо це у вигляді пропорції: , де  — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини . Прямокутник із сторонами і буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]