Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Куранта — Фішера — теорема про властивість ермітового оператора в гільбертовому просторі функцій. Також називається теоремою про мінімакс[1].
Формулювання
![{\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780d806dc4df8c6e80883711f49965e513cd3155)
— лінійний самоспряжений оператор, що діє в скінченновимірному комплексному або дійсному просторі,
— одинична сфера,
— ортонормований базис простору
, що складається з власних векторів оператора
,
—
-е власне значення оператора
і ![{\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4b69d3255020906c209beeafa32f70995bcf10)
—
-вимірний підпростір
.
Доведення
,
—
-вимірний підпростір
,
— лінійна оболонка векторів
.
. Звідки випливає, що
. Нехай
і
. Оскільки
то
. З іншого боку: так як
то
![{\displaystyle \inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc813fd0360e04897c9e195382ad8b5c27214847)
![{\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307f1585c13b30717875c483881ac9a67d1a08e5)
Рівність досягається при
.
Додатково
Очевидно, що
.
Див. також
Примітки
- ↑ Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190
Література
- Р. Беллман. Введение в теорию матриц
- Ланкстер. Теория Матриц
- Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
- Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия