Асимптотично паралельні прямі

Дві прямі, що проходять через задану точку P, асимптотично паралельні прямій R.

У нейтральній або абсолютній геометрії і в геометрії Лобачевського може бути багато прямих, які паралельні даній прямій $R$ і таких, що проходять через точку $P$ за межами цієї прямої. Однак дві паралельні можуть бути ближчими до $R$, ніж інші прямі (по одній з кожної сторони).

У цьому випадку можна дати інше визначення паралельності для нейтральної геометрії. Якщо є дуже близькі паралельні до даної прямої, їх називають асимптотично паралельними або паралельними до межі.

Для променів відношення асимптотичної паралельності є відношенням еквівалентності, яке включає термінальне відношення еквівалентності.

Асимптотичні паралельні можуть утворювати дві або три сторони асимптотичного трикутника.

Визначення

Промінь Aa є асимптотично паралельним променю Bb, що записується як $Aa|||Bb$

Промінь $Aa$ є асимптотично паралельним променю $Bb$, якщо вони котермінальні або якщо вони лежать на різних прямих, не рівних прямій $AB$, не перетинаються і будь-який промінь усередині кута $BAa$ перетинає промінь $Bb$.

Властивості

Різні прямі, що містять асимптотичні паралельні промені, що не перетинаються.

Доведення

Припустимо, що прямі, які містять різні паралельні промені, перетинаються. За визначенням вони не можуть перетнутися на стороні $AB$, в якій знаходиться промінь $a$. Тоді вони повинні перетинатися на стороні $AB$, яка є протилежною променю $a$, позначивши цю точку $C$. Тоді (тут P = прямий кут) $\angle CAB+\angle CBA<2P\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2P$. Суперечність.

Див. також

• Орицикл
• Кут паралельності

Література

• Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond. — New York, NY [u.a.] : Springer, 2000. — Т. Corr. 2nd print.. — ISBN 978-0-387-98650-0.