Відношення еквівалентності

Відно́шення еквівале́нтності ($\sim$) на множині $X$ — це бінарне відношення для якого виконуються наступні умови:

1. Рефлексивність: $\,a\sim a$ для будь-якого $a$ в $X$,
2. Симетричність: якщо $\,a\sim b$, то $\,b\sim a$,
3. Транзитивність: якщо $\,a\sim b$ та $\,b\sim c$, то $\,a\sim c$.

Запис вигляду «$\,a\sim b$» читається як «$a$ еквівалентно $b$».

Наслідком властивостей рефлексивності, симетричності і транзитивності є те, що будь-яке відношення еквівалентності забезпечує розбиття будь-якої базової множини на непересічні класи еквівалентності. Два елементи даної множини еквівалентні між собою тоді і тільки тоді, коли вони належать одному класу еквівалентності.

Позначення

В літературі можуть застосовуватися різні символи для позначення двох елементів a і b із множини що є еквівалентними відповідно до відношення еквівалентності R; найбільш загальними позначеннями є "a ~ b" і "a ≡ b", які використовують коли R є неявною, і варіації позначень "a ~_R b", "a ≡_R b", або "aRb", які вказують R явним чином. Нееквівалентність може записуватися як "a ≁ b" або "$a\not \equiv b$".

Пов'язані визначення

• Класом еквівалентності $C(a)$ елемента $a$ називається підмножина елементів, еквівалентних $a$. З зазначеного визначення випливає що, якщо $b\in C(a)$, то $C(a)=C(b)$.

Множина всіх класів еквівалентності позначається $X/{\sim }$.

• Для класу еквівалентності елемента $a$ використовується наступне позначення: $[a]$, $a/{\sim }$, ${\overline {a}}$.
• Множина класів еквівалентності по відношенню $\sim$ є розбиттям множини.

Приклади відношень еквівалентності

• Найбільш наочний приклад відношення еквівалентності — поділ учнів школи на класи.
• Відношення рівності («$\;=$») тривіальне відношення еквівалентності на довільній множині, зокрема на множині дійсних чисел.
• Порівняння по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
• В Евклідовій геометрії
  • Відношення конгруентності («$\cong$»).
  • Відношення подібності («$\ \sim$»).
  • Відношення паралельності прямих («$\|$»).
• Відношення рівнопотужності множин є відношенням еквівалентності.
• Еквівалентність функцій в математичному аналізі:

  кажуть що функція $\,f(x)$ еквівалентна функції $\,g(x)$ при $\,x\rightarrow x_{0}$, якщо вона може бути представлена у вигляді: $\,f(x)=\alpha (x)g(x),$ де $\,\alpha (x)\rightarrow 1,$ при $\,x\rightarrow x_{0}$. В даному випадку пишуть $\,f(x)\sim g(x)$, при $\,x\rightarrow x_{0}$. Якщо $\,g(x)\neq 0,$ при $\,x\neq x_{0}$, еквівалентність функції $\,f(x)$ та $\,g(x),$ при $\,x\rightarrow x_{0}$, очевидно, рівносильна відношенню $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$.

• Еквівалентність категорій

Факторизація відображень

Множина класів еквівалентності, яка відповідає відношенню еквівалентності $\sim$, позначається символом $X/{\sim }$ і називається фактор-множиною відносно $\sim$. При цьому сюр'єктивне відображення

$p\colon x\mapsto C_{x}$

називається дійсним відображенням (чи канонічною проєкцією) $X$ на фактор-множину $X/{\sim }$.

Нехай $X$, $Y$ — множини, $f\colon X\to Y$ — відображення, тоді бінарне відношення $x\,{R_{f}}\,y$ визначене правилом

$x\mathop {R_{f}} y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X$

є відношенням еквівалентності на $X$. При цьому відображення утворює відображення ${\overline {f}}\colon X/R_{f}\to Y$, яке визначається правилом

${\overline {f}}(C_{x})=f(x)$

чи

$({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)$.

При цьому отримується факторизація відображення $f$ на сюр'єктивне відображення $p$ та ін'ективне відображення ${\overline {f}}$.

Факторизація відображень широко використовується в гуманітарних науках та в тих галузях техніки де немає можливостей використовувати числові значення. Вона дозволяє уникати формул там, де їх неможливо використати. Наведемо загально відомий всім приклад:

Розклад уроків в школі — є типовий приклад факторизації. В даному випадку $X$ — множина всіх учнів школи, $Y$ — множина всіх предметів, упорядкованих по днях тижня та часом їх проведення. Класами еквівалентності є класи (групи учнів). Відображення $f$ — розклад уроків записаних у щоденники учнів. Відображення ${\overline {f}}$ — розклад уроків по класам, який вивішують у вестибюлі школи. Там же і вивішується відображення $p$ — списки класів. Цей простий приклад наочно демонструє практичні вигоди факторизації: неможливо собі уявити розклад занять як таблицю в якій занесені всі учні школи в особистому порядку. Факторизація дозволила зобразити потрібну учням інформацію у зручному для використання вигляді в ситуації коли формули застосовувати неможливо.

На цьому переваги факторизації не закінчується. Вона дала можливість розділити роботу між людьми: завуч складає розклад, а учні записують його у щоденники. Аналогічно факторизація дозволила розділити роботу медика, який ставить діагноз та виписує рецепт, і фармацевта який еквівалентно рецепту підбирає ліки. Апофеозом факторизації є конвеєр, де реалізоване максимальне розбиття праці за рахунок стандартизації деталей.

Факторизація дозволила забезпечити модульність сучасної техніки. Наприклад, можна замінити телефон але залишити сім-карту і карту пам'яті зі старого телефону, або поміняти оперативну пам'ять в комп'ютері більше нічого не чіпаючи. Все це гнучкість і модульність в основі яких лежить факторизація.

Фактор-множина та класи еквівалентності

Сукупність множин {B_i|i∈I} називається розбиттям множини A, якщо B_i=A і B_i∩B_j = ∅ для i≠j. Множини B_i, i∈I є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a∈A належить одній і тільки одній множині B_i, i∈I.

Нехай тепер на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a∈M і утворимо підмножину S_a^R = {x| x∈M і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M, еквівалентних елементу a. Візьмемо другий елемент b∈M такий, що b∉S_a^R і утворимо множину S_b^R = {x | x∈M і bRx } з елементів еквівалентних b і т. д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {S_a^R, S_b^R,…}.

Побудована сукупність множин { S_i^R | i∈I} є фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.

Очевидно, що будь-які два елементи з одного класу S_i^R еквівалентні між собою, в той час як будь-які два елементи з різних класів фактор-множини M/R нееквівалентні.

Класи S_i^R називають класами еквівалентності за відношенням R. Клас еквівалентності, який містить елемент a∈M часто позначають через [a]_R.

Див. також

• Асимптотична рівність
• Відношення порядку
• Відношення толерантності
• Вільний добуток

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• В. В. Иванов, Математический анализ. НГУ, 2009.