Промінь (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проміньгеометрії) або півпряма — частина прямої, обмежена лише з однієї сторони, тобто промінь є частиною прямої, яка виходить із заданої точки і прямує до нескінченності в даному напрямку.[1]

Проведемо якусь лінію та позначимо на ній точку A. Точка A поділяє цю лінію на дві частини. Кожна з частин називається променем (або півпрямою), а точка A називається початковою точкою. Вважається, що точка А є частиною променя.[2] Промінь складається з точки А і всіх точок, що знаходяться на цій прямій в одному напрямі до нескінченності. Але щоб використовувати це поняття в доказах, потрібне точніше означення.

Візьмемо відмінні точки A і B, що визначають певний промінь з початковою точкою A. Цей промінь складається зі всіх точок між А і В (включаючи А і В) та всіх точок C на цій самій лінії таким чином, що B знаходиться між A і C.[3] Часом це також виражається як набір всіх точок C таким чином, що A не знаходиться між B і C.[4] Точка D знаходиться на тій самій лінії, що й A та B, але не на промені від A в напрямку B. Таким чином утворюється промінь AD, який називається протилежним до AB.

Промінь

Таким чином, можна сказати, що A та B визначають лінію і її поділ на два диз'юнктні об'єднання відкритого сегменту A, B, на два промені BC і AD (точка D не зображена на діаграмі, але знаходиться зліва від А). Ці два промені вже не є протилежними, оскільки вони мають різні початкові точки.

Визначення променя ґрунтується на понятті проміжності для точок на лінії, а, отже, промені можуть існувати тільки в тих геометріях, де це поняття існує. Вони існують в евклідовій геометрії і афінній геометрії через впорядковане поле. Промені не існують в проективній геометрії та геометріях з невпорядкованими полями типу комплексних чисел або поля Галуа.

В топології промінь в просторі X є образом відображення R+X. Він використовується для того, щоб визначити важливе поняття кінця простору.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Довідник з елементарної математики під редакцією П. Ф. Фільчакова. «Наукова думка», Київ.
  2. Часом ми можемо розглядати промінь без початкової точки, який називається відкритим, в даному випадку він є закритим.
  3. Wylie, Jr., 1964, pg. 59, Definition 3
  4. Pedoe, 1988, pg. 2

Бібліографія[ред. | ред. код]

  • Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1748-1.
  • Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
  • Wylie, Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2