Формула тангенса половинного кута

Геометричне доведення формули тангенса половинного кута

Формула тангенса половинного кута — формула, що пов'язує тангенс половинного кута с тригонометричними функціями повного кута:

$\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }},$

де $k\in \mathbb {Z}$ і визначається умовою $k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi$.

З цією формулою пов'язані наступні формули:

${\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }},\\[10pt]\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\operatorname {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\operatorname {tg} \theta ={\frac {1-\operatorname {tg} (\theta /2)}{1+\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}$

де $k\in \mathbb {Z}$ і визначається умовою $\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi$.

При $\theta \in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ отримуємо: $\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}}.$

Універсальна тригонометрична підстановка в інтегральному численні

Буває корисно записувати тригонометричні функції через раціональні функції нової змінної $\ t$, що дорівнює тангенсу половинного кута.

$\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$	$\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$	$\operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},$
$\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$	$\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},$
$e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},$	$e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.$

В цих формул можна виразити арктангенс через натуральний логарифм

$\operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.$

При знаходженні превісних, що містять sin(φ) та cos(φ), підстановка після заміни:

$t=\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .$

та

$\varphi =2\operatorname {arctg} (t),$

виглядає

$d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.$

Гіперболічні тотожності

Можна отримати аналогічні формули для гіперболічних функцій.

$t=\operatorname {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operatorname {sh} \theta }{\operatorname {ch} \theta +1}}={\frac {\operatorname {ch} \theta -1}{\operatorname {sh} \theta }}$

Отимуємо

$\operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$	$\operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$
$\operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$	$\operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},$
$\mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$	$\mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},$
$e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}},$	$e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}.$

Відповідно, для арктангенса та натурального логарифма отримуємо:

$\operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.$

Див. також

• Список тригонометричних тотожностей
• Функція Гудермана

Джерела

• Тангенс половинного кута на Planetmath