Гіперболічні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
sinh, cosh та tanh

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язанні з тригонометричними функціями.

Визначення[ред.ред. код]

Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

  • гіперболічний синус:
(в іноземній літературі позначається )

Існує сленгова назва: «шинус».

  • гіперболічний косинус:
(в іноземній літературі позначається )

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус». Лінію гіперболічного косинусу називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

  • гіперболічний тангенс:
(в іноземній літературі позначається ).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

  • гіперболічний котангенс:
,
  • гіперболічні секанс і косеканс:
,
.

Властивості[ред.ред. код]

Один із способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціями[ред.ред. код]

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

.

.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожності[ред.ред. код]

  1. Парність:
  2. Формули додавання:
  3. Формули подвоєного кута:
  4. Формули кратних кутів:
  5. Добуток
  6. Суми
  7. Формули пониження степеня
  8. Похідні:
  9. Інтеграли:
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Нерівності[ред.ред. код]

При всіх виконується:

Розкладання в степенні ряди[ред.ред. код]

(Ряд Лорана)

Тут  — числа Бернуллі.

Графіки[ред.ред. код]

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості[ред.ред. код]

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках , де  — ціле. Вирахування у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок , вирахування його в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також[ред.ред. код]