Гіперболічні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
sh, ch та th

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

Визначення[ред. | ред. код]

Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

  • гіперболічний синус:
(в іноземній літературі позначається ).

Існує сленгова назва: «шинус».

  • гіперболічний косинус:
(в іноземній літературі позначається ).

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

  • гіперболічний тангенс:
(в іноземній літературі позначається ).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

  • гіперболічний котангенс:
,
  • гіперболічні секанс і косеканс:
,
.

Властивості[ред. | ред. код]

Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціями[ред. | ред. код]

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

.

.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожності[ред. | ред. код]

  1. .
  2. Парність:
    1. ,
    2. ,
    3. .
  3. Формули додавання:
    1. ,
    2. ,
    3. .
  4. Формули подвоєного кута:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. ,
    6. .
  5. Формули кратних кутів:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. ,
    6. .
  6. Добуток
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. .
  7. Суми
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. .
  8. Формули пониження степеня
    1. ,
    2. .
  9. Похідні:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. ,
    6. .
  10. Інтеграли:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. .
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Нерівності[ред. | ред. код]

При всіх виконується

  1. ,
  2. .

Розкладання в степеневі ряди[ред. | ред. код]

,
,
,
(Ряд Лорана).

Тут  — числа Бернуллі.

Графіки[ред. | ред. код]

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості[ред. | ред. код]

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках , де  — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок , лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]