Миттєвий центр швидкостей

Миттєвий центр швидкостей P для випадку плоско паралельного руху

Миттє́вим це́нтром швидкосте́й (МЦШ) називається точка рухомої плоскої фігури, що здійснює плоскопаралельний рух, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю $\left({\vec {V}}_{P}=0\right)$. Вказана точка може бути розташована або на самій рухомій фігурі, або на її уявному продовженні.

Доведення

Доведення існування миттєвого центру швидкостей при плоскопаралельному русі

Нехай задано фігуру S, що здійснює плоский рух і швидкість ${\vec {V}}_{A}$ деякої точки А цієї фігури вважається відомою а також, кутова швидкість ${\vec {\omega }}$ обертання фігури.

Якщо побудувати у точці А перпендикуляр до вектора швидкості ${\vec {V}}_{A}$, який напрямлений у бік отриманий поворотом вектора швидкості за напрямком обертання фігури і відкласти на цьому перпендикулярі відрізок довжиною $AP={\frac {V_{A}}{\omega }}$, то обравши точку А за полюс, швидкість точки Р даної фігури буде визначатись за допомогою наступного векторного рівняння:

${\vec {V}}_{P}={\vec {V}}_{A}+{\vec {V}}_{PA}$.

З цього виразу знайдемо швидкість ${\vec {V}}_{PA}$. Вона буде дорівнювати:

$\left|{\vec {V}}_{PA}\right|=\omega \cdot AP=\omega {\frac {\left|{\vec {V}}_{A}\right|}{\omega }}=\left|{\vec {V}}_{A}\right|$.

Вектор швидкості ${\vec {V}}_{PA}$ буде спрямований протилежно до вектора швидкості ${\vec {V}}_{A}$, тобто

${\vec {V}}_{PA}={\vec {V}}_{A}.$.

Тоді, з врахуванням цього, з виразу для швидкості точки P отримаємо:

${\vec {V}}_{P}={\vec {V}}_{A}-{\vec {V}}_{A}=0.$

Таким чином, швидкість точки P дорівнює нулю, чим і доведено існування миттєвого центру швидкостей (МЦШ).

Можна довести, що при плоскопаралельному непоступальному русі плоскої фігури в кожний момент часу існує, і при тому єдина, точка з нульовою швидкістю.

Абсолютні значення швидкостей всіх точок плоскої фігури будуть прямо пропорційними їх відстаням до МЦШ, а напрями векторів швидкостей будуть перпендикулярними до прямих, які з'єднують ці точки з МЦШ. Саме тому МЦШ називають також миттєвим центром обертання.

Теорема Ейлера-Шаля

Центроїди при плоскопаралельному русі

Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих обертань навколо відповідних миттєвих центрів обертань (МЦО). За теоремою Ейлера-Шаля плоский рух уявляється як обертальний рух навколо миттєвого центра обертань, або центра швидкостей.

Миттєвим центром обертань є точка нерухомої площини, з якою у даний момент часу збігається миттєвий центр швидкостей (МЦШ).

Згідно з теоремою обертання Ейлера, будь-яке обертове тривимірне тіло, що має нерухому точку, також має і вісь обертання. Таким чином, у загальнішому випадку обертання тривимірного тіла говорять про миттєву вісь обертання. Миттєвий центр обертання є точкою перетину миттєвої осі обертань з площиною руху.

Будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна одержати, якщо побудувати рухому і нерухому центроїди, жорстко з'єднати першу з них з плоскою фігурою і котити без ковзання рухому центроїду по нерухомій.

Центроїдою називається геометричне місце миттєвих центрів швидкостей (МЦШ).

При плоскопаралельному русі утворюються дві центроїди, оскільки миттєвий центр швидкостей описує одну криву в нерухомій системі координат, а другу в рухомій. Нерухома центроїда — це траєкторія миттєвого центра швидкостей на нерухомій площині, рухома центроїда — це траєкторія миттєвого центра швидкостей на рухомій площині. Рухома центроїда PN котиться без ковзання по нерухомій PL (див. рисунок). Поняття про центроїди широко застосовується у теорії машин і механізмів при профілюванні зубчатих коліс.

Полюсом є миттєвий центр швидкостей (МЦШ), тобто така точка Р рухомої площини, жорстко скріплена з фігурою, швидкість якої в певний момент часу дорівнює нулю: ${\vec {V}}_{P}=0$.

Тоді $V_{B}=V_{BP}=\left|\omega \right|\cdot BP$, тобто швидкість будь-якої точки фігури дорівнює за величиною добутку модуля кутової швидкості фігури на відстань від цієї точки до МЦШ та спрямована перпендикулярно до цього відрізку $\left({\vec {V}}_{B}\perp BP\right)$ проти ходу годинникової стрілки, якщо $\omega >0$ і навпаки.

Розподіл миттєвих швидкостей точок плоскої фігури такий, немовби фігура оберталася навколо МЦШ (точка Р). З цього маємо співвідношення

${\frac {V_{B}}{V_{A}}}={\frac {BP}{AP}}.$

. Отже, відношення швидкостей двох точок плоскої фігури дорівнює відношенню їхніх відстаней до миттєвого центра швидкостей, або

${\frac {V_{A}}{AP}}={\frac {V_{B}}{BP}}=\cdots =\left|\omega \right|.$

Випадки знаходження миттєвого центра швидкостей плоскої фігури

Випадок 1 (загальний)

У загальному випадку (див. рисунок вгорі) для знаходження МЦШ потрібно знати лише напрям швидкостей двох точок фігури. Для цього з початку векторів швидкостей зазначених двох точок (наприклад А, В і C) проводимо перпендикуляри. У точці перетину цих перпендикулярів і знаходиться миттєвий центр швидкостей (точка Р).

Кутова швидкість плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані до МЦШ:

$\omega ={\frac {V_{A}}{AP}}={\frac {V_{B}}{BP}}={\frac {V_{C}}{CP}}=\cdots$

Часткові випадки знаходження МЦШ

Випадок 2 (для двох паралельних однонаправлених швидкостей)

Відомі за величиною швидкості двох точок А і В фігури, які паралельні одна одній, напрямлені в один бік і перпендикулярні до прямої АВ $\left({\vec {V}}_{A}||{\vec {V}}_{B}\right)$ (варіант а на рисунку).

МЦШ (точка Р) знаходиться в точці перетину прямої АВ і прямої, що з'єднує кінці векторів швидкостей точок А і В:

$\omega _{AB}={\frac {V_{A}}{AP}}={\frac {V_{B}}{BP}};\quad \left(V_{B}\perp AB,\quad V_{A}\perp AB\right).$

Випадок 3 (для двох протилежно направлених паралельних швидкостей)

Якщо швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з'єднує ці точки, то миттєвий центр швидкостей лежить у точці перетину прямої, яка з'єднує кінці векторів швидкостей з наведеним вище відрізком (варіант б на рисунку).

Випадок 4 (для двох однакових паралельних однаково направлених швидкостей)

Якщо швидкості двох точок плоскої фігури паралельні й рівні між собою, напрямлені в один бік, то миттєвий центр швидкості віддаляється на нескінченну велику відстань, тобто МЦШ відсутній, $\omega =0$, і миттєві швидкості всіх точок фігури рівні між собою:${\vec {V}}_{A}={\vec {V}}_{B}={\vec {V}}_{C}=\cdots$ (варіант в на рисунку).

Це випадок миттєво-поступального руху тіла: відстань до МЦШ прямує до нескінченності і $\omega ={\frac {V_{A}}{\infty }}=0.$.

Миттєвий центр швидкостей (точка P) при коченні тіла

Випадок 5 (кочення без ковзання)

У разі кочення без ковзання рухомого контуру плоскої фігури по нерухомому МЦШ лежить у точці дотику цих контурів. Кутова швидкість $\omega ={\frac {V_{A}}{AP}};\quad V_{B}=\omega \cdot BP;\quad V_{C}=\omega \cdot CP.$

Див. також

• Плоскопаралельний рух
• Поступальний рух
• Обертання

Джерела

• Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. — К.: Техніка, 2002. — 512 с. ISBN 966-575-184-0.
• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.