Теорема обертання Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Обертання представлене віссю та кутом Ейлера.

Теорема обертання Ейлера стверджує, що будь-яке обертання тривимірного простору має вісь.

Таким чином, обертання може бути описано трьома координатами: двома координатами осі обертання (наприклад, широта та довгота) і кутом повороту навколо осі.

Для заданого одиничного вектора і кута позначимо обертання в напрямку вектора проти годинникової стрілки на кут . Тоді:

  •  — тотожне відображення для будь-якого

Для будь-якого обертання існує єдиний кут , для якого , при цьому:

  • визначається однозначно, якщо ;
  • будь-яке, коли ;
  • визначається однозначно з точністю до знака, якщо (тобто, обертання однакові).
Конструкція до теореми про обертання сфери. Ейлерові кути — [ψ,θ,φ]. Синій контур прикріплений до нерухомої сфері (початковий стан). Червоний контур кріпиться до обертаємої сфери (кінцевий стан). Перетин площин визначає нерухому вісь, яка йде в напрямку точки A. Дуги Aa та повинні бути рівними.

Геометрія групи обертань[ред.ред. код]

Подання Ейлера дозволяє досліджувати топологію групи обертань тривимірного простору — SO(3). Для цього розглянемо кулю з центром на початку координат з радіусом .

Будь-яке обертання на кут, менший , задає єдину точку всередині кулі (напрямок задає напрямок осі обертання, а кут задає відстань від початку координат). Обертання на кут відповідає двом протилежним точкам на поверхні сфери.

Таким чином, куля з ототожненням протилежними точками сфери гомеоморфна групі обертань простору SO(3).

Див. також[ред.ред. код]