Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Піка, або теорема Шварца — Піка — інваріантне формулювання та узагальнення леми Шварца.
Нехай — регулярна аналітична функція з одиничного круга в одиничний круг
Тоді для будь-яких точок і круга відстань у конформно-евклідовій моделі площини Лобачевського між їх образами не перевищує відстані між ними:
- .
Більш того, рівність досягається тільки в тому випадку, коли є дробово-лінійною функцією, яка відображає коло на себе.
Оскільки
умова
еквівалентна такій нерівності:
Якщо і нескінченно близькі, вона перетворюється на
- Pick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 вид. — М., 1966.