Sub-гауссівский розподіл

У теорії ймовірностей, sub-гауссівский розподіл є розподілом ймовірностей з сильним властивістю хвоста розпаду. Неформально, хвости sub-гауссівського розподілу переважають (тобто розпаду, принаймні так само швидко, як) хвостів гаусом.

Формально, розподіл ймовірностей випадкової величини X називається sub-гауссівским, якщо існують позитивні константи C, v, що для будь-якого t> 0,

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|>t)\leq Ce^{-vt^{2}}.}$

Sub-гауссівскі випадкові величини з наступною формою норми простору Орлича:

${\displaystyle \|X\|_{\psi _{2}}=\inf\{s>0\mid \operatorname {E} e^{(X/s)^{2}}-1\leq 1\}.}$

Еквівалентні властивоті

Наступні властивості еквівалентні:

• Розподіл X є Sub-гауссівским.
• ${\displaystyle \psi _{2}{\text{-condition:}}}{\displaystyle \exists a>0\ \operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty .}{\displaystyle \exists a>0\ \operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty .}$
• Лаплас умови перетворення:${\displaystyle \exists B,b>0\ \forall \lambda \in \mathbb {R} \ \ \operatorname {E} e^{\lambda X}\leq Be^{\lambda ^{2}b}.}$
• Момент умови:${\displaystyle \exists K>0\ \forall p\geq 1\ \left(\operatorname {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\leq K{\sqrt {p}}.}{\displaystyle \exists K>0\ \forall p\geq 1\ \left(\operatorname {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\leq K{\sqrt {p}}.}$

Джерела

• Kahane, J.P. (1960). «Propriétés locales des fonctions à séries de Fourier aléatoires». Stud. Math. 19. pp. 1–25.
• Buldygin, V.V.; Kozachenko, Yu.V. (1980). «Sub-Gaussian random variables». Ukrainian Math. J. 32. pp. 483—489.
• Rudelson, Mark; Vershynin, Roman (2010). «Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values».
• Rivasplata, O. (2012). «Subgaussian random variables: An expository note». Unpublished.
• http://prima.lnu.edu.ua/faculty/mechmat/Departments/mathstat/DVVS/2015-16/magistry/imitaciyne-modelyuvannia-system-masovoho-obsluhovuvannia.pdf Імітаційне [Архівовано 8 квітня 2017 у Wayback Machine.] моделювання систем масового обслуговування.