Простір Орлича

Простір Орлича — лінійний нормований простір на множині вимірних функцій. Є узагальненням простору Лебега.

Означення

Нехай $M$ — деяка фіксована $N$ -функція^[1], а $N$ — додаткова^[2] до неї $N$ -функція; $G$ — множина скінченної міри.

Простором Орлича $L_{M}^{*}$ називається сукупність всіх вимірних функцій $u(x)$ , що задовольняють умові $(u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty$ при всіх $v(x)$ , таких що $\int _{G}N[u(x)]dx<\infty$ .

У просторі Орлича задана норма Орлича: $\|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|$ .

Примітки

↑ $N$ — функцією називається функція M(u), що допускає представлення $M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt$ , де $p(t)$ — додатня при $t>0$ , неперервна праворуч при $t\geqslant 0$ , неспадна функція, що задовольняє умовам: $p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty$ .
↑ Взаємно додатковими називаються $N$ — функції $M(u),N(v)$ , що задовольняють рівнянням $M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt,N(v)=\int _{0}^{|v|}q(s)ds$ , де $p(t)$ — додатня при $t>0$ , неперервна праворуч при $t\geqslant 0$ , неспадна функція, що задовольняє умовам: $p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty$ , а $q(s)$ визначена при $s\geqslant 0$ рівністю $q(s)=\sup _{p(t)\leqslant s}t$ .