Александровська геометрія

Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.

Історія

Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом Карла Менгера. Ця робота була забута аж до 1980-их років.

Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим. Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.

Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно Буземаном.

Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:

• Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу;
• Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху.
  • Гіперболічність у сенсі Громова є продовженням цієї теорії для дискретних просторів. Воно має значні застосування в теорії груп.

Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала теорема Громова про компактність. Основна робота була написана Юрієм Дмитровичем Бураго, Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.

Основні визначення

Трикутник порівняння для трійки точок $xyz$ метричного простору $X$ це трикутник $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ на евклідовій площині $\mathbb {E} ^{2}$ з тими ж довжинами сторін; тобто

${\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}$

Кут при вершині ${\tilde {x}}$ у трикутнику порівняння $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ називаються кутом порівняння трійки $xyz$ і позначаються ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$.

В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори $X$ з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.

Недодатна кривина

Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок $x,y,p,q\in X$ розглянемо кілька трикутників порівняння $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ і $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$. Тоді для довільної точки ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ виконується нерівність

$|x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.$

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє $\mathrm {CAT} [0]$-нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.

Невід'ємна кривина

Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок $p,x,y,z\in X$ виконується нерівність

${\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .$

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє $\mathrm {CBB} [0]$-нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.

Загальні обмеження на кривину

Замість Евклідової площини можна взяти простір $\mathbb {M} [k]$ — модельну площину кривини $k$. Тобто

• $\mathbb {M} [0]$ є евклідова площина,
• $\mathbb {M} [k]$ при $k>0$ є сфера радіуса $1/{\sqrt {k}}$,
• $\mathbb {M} [k]$ при $k<0$ є гіперболічна площина кривини $k$.

Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною $\leq k$ і $\geq k$ у сенсі Александрова У разі $k>0$, трикутник порівняння трійки $(xyz)$ вважається визначеним, якщо виконана така нерівність

$|x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}$.

Основні теореми

• Лема Александрова — важливе технічне твердження про кути порівняння
• Теорема Решетняка про склеювання — дозволяє конструювати CAT(k) простору шляхом склеювання CAT(k) просторів за опуклими множинами.
• Теорема Решетняка про мажорування — дає зручне еквівалентне визначення CAT(k) просторів.
• Теорема глобалізації для CAT(k) просторів, є узагальненням теореми Адамара — Картана.
• Теорема глобалізації для CBB(k) просторів, є узагальненням теореми порівняння Топоногова.

Див. також

• Синтетична геометрія

Література

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Лекция 5, Геометрия Александрова [Архівовано 29 квітня 2017 у Wayback Machine.]
• Антон Петрунин, Александровская геометрия [Архівовано 27 грудня 2018 у Wayback Machine.] видео лекции
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces. arXiv:1701.03483 [math.DG].