Теорія груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Всі повороти кубика Рубика складають групу.

Теорія груп — розділ математики, який вивчає властивості груп. Група — це алгебраїчна структура з двомісною операцією, і для цієї операції виконуються такі властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента, існування оберненого елемента.

Поняття групи є узагальненням понять група симетрій, група перестановок.

Часто група може являти собою множину всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень (композицією) буде знову деяке перетворення, також можливі обернені перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень.

Наприклад, в кубика Рубика множина всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує обернена, нейтральний елемент — відсутність трансформацій.

Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості гомоморфізму, тобто такому зв'язку між різними групами, при якому групова операція зберігається. Гомоморфні групи різної природи мають одинакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням іншої. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфна групі спеціальних ортогональних матриць 3x3, груповою операцією якої є множення матриць (див. Матриці повороту). Завдяки гомоморфізму теорія груп знайшла широке застосування в різних областях математики й фізики, оскільки дозволяє виділити спільні риси в об'єктах дуже різної природи.

Історія[ред.ред. код]

Теорія груп сформувалася в XIX столітті. Вона має три історичні корені: теорія алгебраїчних рівнять, теорія чисел та геометрія.

Основною задачею алгебри до XIX століття було розв'язання алгебраїчних рівнянь. В епоху Відродження були знайдені формули для розв'язку рівнянь третього та четвертого степенів. Були прикладені значні зусилля для пошуку формул для рівнянь п'ятого та вищих степенів, але понад два століття пошуків не дали бажаного результату. У 1770 Жозеф-Луї Лагранж та Александр Вандермонд помітили, що розв'язність рівняння зводиться до вивчення перестановок з його коренів. З 1799 Паоло Руффіні в низці робіт, присвячених цій темі, описав групу перестановок з п'яти елементів. У 1824 Нільс Абель довів теорему, що для рівнянь п'ятого і вищих степенів не існує загальної формули, що виражатиме корені через коефіцієнти в радикалах (теорема Абеля—Руффіні). Загальний розв'язок проблеми розв'язності алгебраїчних рівнянь отримав Еварист Галуа в 1830. Саме Галуа запровадив у своїх роботах термін «група» і почав використовувати властивості груп.

У геометрії в XIX столітті викликали інтерес геометричні перетворення. Їх вивчав, зокрема, Август Мебіус. Детальну класифікацію геометричних перетворень провів у 1854 Артур Келі. Він користувався терміном «група», використовував таблиці множення (таблиці Келі) і довів що скінченну групу можна представити перестановками. У ерлангенській програмі Фелікса Клейна (1872) вивчення геометрії було пов'язано з вивченням відповідних груп перетворень. Наприклад, якщо задані фігури на площині, то групою рухів з'ясовується їхня рівність.

Третій історичний шлях до теорії груп лежав через теорію чисел. Значний внесок у становлення групового підходу до теорії чисел зробили Леонард Ейлер, який вивчав остачі від ділення степенів, Гаус, який цікавився пошуком коренів рівняння хn-1=0 для побудови правильних многокутників та Леопольд Кронекер, який працював над вивченням скінченних абелевих груп, застосовуючи мову теорії чисел.

На початку XX століття теорією груп займались Софус Лі, Давид Гільберт, Еммі Нетер, Еміль Артін, Людвиг Сілов.

Визначення групи[ред.ред. код]

Групою називається множина G, на якій визначена бінарна операція G \times G \to G, що звичайно називається множенням і позначається (a,b) \to a \cdot b або \ (a,b) \to ab і має такі властивості:

  • Асоціативність: для довільних елементів a, b, c групи G виконується \ a(bc) = (ab)c
  • Існування нейтрального елемента: існує елемент e такий, що для кожного елемента a групи G виконується \ ea=ae=a
  • Існування оберненого елемента: для кожного елемента a групи існує елемент a^{-1} такий, що a^{-1}a=aa^{-1}=e.

Якщо група також має властивість комутативності, то вона називається абелевою.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Коли елементи групи неперервно залежать від якихось параметрів, то група називається неперервною, або групою Лі. Також кажуть, що група Лі — це група, множина елементів якої утворює гладкий многовид. За допомогою груп Лі як груп симетрії знаходяться розв'язки диференціальних рівнянь.

Застосування[ред.ред. код]

Теорія груп має широку область застосування в математиці, фізиці, хімії та в прикладних областях, наприклад, в комп'ютерній графіці, криптографії тощо.

Серед розділів математики, в яких застосовується теорія груп, геометрія і топологія, теорія чисел, теорія диференціальних рівнянь та інші.

У фізиці важливу роль відіграє поняття симетрії. Сукупність операцій симетрії складає групу. На основі вивчення цієї групи можна робити важливі висновки про властивості фізичних об'єктів. Наприклад, теорема Нетер встановлює той факт, що кожній симетрії відповідає певний закон збереження. Так, закон збереження енергії є результатом однорідності часу, закон збереження імпульсу випливає із однорідності простору, а закон збереження моменту імпульсу із ізотропності простору. Інші фізичні симетрії не настільки очевидні. У квантовій теорії поля існує поняття калібрувальних перетворень, які відповідають фундаментальним симетріям світу елементарних частинок. Сукупність фундаментальних частинок за сучасними уявленнями гомоморфна групам матриць із родини SU(n).

В кристалографії та хімії важливе значення мають операції симетрії, які описуються точковими й просторовими групами. Вивчення цих груп важливе для класифікації та визначення властивостей мінералів та молекул. Групи симетрії визначають, наприклад, структуру оптичних спектрів, спектрів раманівського розсіяння тощо.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Голод П. І. Симетрія та методи теорії груп у фізиці (дискретні симетрії). — К.: Києво-Могилянська академія, 2005. — 215 с.
  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрій. — К.: Наукова думка, 1992. — 368 с.
  • Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 444 с.
  • Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
  • Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966. — 588 с.
  • Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1963. — 522 с.
  • Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962. — 468 с.