Альберто Террі розпочав виступи на футбольних полях у складі клубу «Універсітаріо де Депортес» у 1947 році, де швидко став одним із основних гравців атакувальної ланки команди. У 1949 році у складі команди футболіст став чемпіоном Перу. а в 1950 році кращим бомбардиром чемпіонату країни. У 1960 році Террі перейшов до складу клубу «Спортінг Крістал», у якому також залишався гравцем основи, та в 1961 році здобув другий титул чемпіона країни, після чого завершив виступи на футбольних полях.