Взаємно прості числа

Взаємно прості числа — натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 — взаємно прості, а 2 і 4 — ні (діляться на 2). Будь-яке натуральне число взаємно просте з 1.Натуральні числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Якщо $p$ — просте, а $n$ — довільне ціле число, то вони взаємно прості і тільки тоді, коли $n$ не ділиться на $p.$

Взаємна простота великих чисел може бути перевірена і доведена чи спростована за допомогою алгоритму Евкліда.

Якщо числа $i$ та $j$ взаємно прості, то класи $(i+)$ та $(j+)$ перетинаються по класу $(ij+).$ Перетин класів $(i+)$ та $(j+)$ є класом $(x+)$, де число $x$ - найменше спільне кратне $i$ та $j$. Класи є монотонними по відношенню до ділення $(x+)\subset (i+),\,\,(x+)\subset (j+).$

Приклади

• Числа 9 та 24 не є взаємно простими, оскільки обидва числа діляться на 3.
• Для перевірки взаємної простоти 7 і 91 зазначимо, що 7 — просте число. Оскільки 91 ділиться на 7, 91/7=13, ці числа не є взаємно простими.
• Числа 10 та 9 — взаємно прості, тому що будь-який їх спільний дільник мусить також ділити їх різницю 10-9=1.
• Також взаємно простими є 65 та 48, в чому можна пересвідчитися за допомогою алгоритму Евкліда:

$65-1\cdot 48=17,48-2\cdot 17=14,17-1\cdot 14=3,14-4\cdot 3=2,3-1\cdot 2=1,$ тому найбільший спільний дільник 65 та 48 дорівнює 1.

Див. також

• Подільність
• Алгоритм Евкліда