Подільність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Подільність — фундаментальна властивість натуральних та цілих чисел. Число ділиться на , відповідно, число є дільником якщо частка  — ціле число. Будь-яке натуральне число ділиться на одиницю і на себе. Якщо дане число не має інших дільників, то таке число називається простим, в іншому разі — складеним. Властивості простих чисел і питання подільності займали думки науковців і філософів протягом двох з половиною тисячолітть, принаймні з часів Піфагора, і ще досі не вичерпали себе. Завдяки розвитку криптографії і розповсюдженню заснованних на теорії чисел алгоритмів, пов'язані з перевіркою на простоту і факторизацією дослідження знаходяться на передовому краю математики.

Історія[ред.ред. код]

Питання подільності натуральних чисел розглядалися уже в античні часи. Евкліду належить один з найвідоміших результатів математики, твердження, що не існує найбільшого простого числа, тобто множина простих чисел — нескінченна. Він також навів найперший в історії алгоритм, а саме алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох натуральних чисел. Цікаво відзначити, що це — не тільки найдавніший, а й один з найефективніших алгоритмів в математиці, який майже не був вдосконалений за більш ніж дві тисячі років, що минули по тому. Але набагато раніше за Евкліда, Піфагор і піфагорейці розробили теорію досконалих і дружніх чисел, які відігравали важливу роль у їх філософській системі.

Подільність чисел, загальніших ніж цілі, було ретельно досліджено у 19 ст., починаючи з роботи Гауса про властивості гаусових цілих чисел, комплексних чисел вигляду де  — це звичайні цілі числа, а  — це уявна одиниця. Гаус відкрив аналог алгоритму Евкліда і в такий спосіб довів однозначність факторизації гаусових цілих чисел. Чимало із спроб доведення великої теореми Ферма спиралося на однозначність факторизації алгебраїчних цілих чисел вигляду

де  — це примітивний корінь з одиниці степені , a  — цілі числа. Однак виявилося, що у випадку загального такі числа поводяться набагато складніше, ніж звичайні цілі, зокрема, для них не виконується однозначність факторизації на прості множники. У роботах Куммера, Кронекера і Дедекінда з теорії подільності алгебраїчних цілих чисел з'явились фундаментальні для сучасної математики поняття теорії кілець, на яких, разом з введеним Галуа поняттям групи, ґрунтується сучасна абстрактна алгебра.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Одиниця має рівно один дільник і не є ні простою, ні складеною.
  • У кожного натурального числа, більшого за одиницю, є хоча б один простий дільник.
  • Власним дільником числа називається всякий його дільник, відмінний від самого числа. У простих чисел існує лише один власний дільник — одиниця.
  • Незалежно від подільності цілого числа на ціле число , число a завжди можна розділити на b із залишком, тобто представити у вигляді:
    де .
У цьому співвідношенні число називається неповною часткою, а число r — остачею від ділення на . Як частка, так і остача визначаються однозначно.
Число a ділиться без остачі на b тоді та лише тоді, коли залишок від ділення a на b дорівнює нулю.
  • Всяке число, яке ділить як , так і , називається їх спільним дільником; максимальне з таких чисел називається найбільшим спільним дільником. У будь-якої пари цілих чисел є принаймні два загальних подільника: +1 та −1. Якщо інших спільних дільників немає, то ці числа називають взаємно простими числами.
  • Два цілих числа і називають одноподільніними на ціле число , якщо або і , і ділиться на , або ні , ні не діляться на нього.

Позначення[ред.ред. код]

  • означає, що ділиться на , або що число кратне числу .
  • або означає, що ділить , або, що теж cаме:  — дільник .

Властивості[ред.ред. код]

Зауваження: у всіх формулах цього розділу передбачається, що  — цілі числа.
  • Будь-яке ціле число є дільником нуля, при цьому чаcтка дорівнює нулю :
  • Будь-яке ціле число ділиться на одиницю:
  • На нуль ділиться лише нуль:
,

причому частка в цьому випадку не визначена.

  • Одиниця ділиться націло лише на одиницю:
  • Для будь-якого цілого числа знайдеться таке ціле число для якого
  • Якщо та то Звідси ж випливає, що якщо і то
  • Для того щоб необхідно і достатньо, щоб
  • Якщо то
  • Властивість подільності є відношенням не суворого порядку і, зокрема, воно:
    • рефлексивне, тобто будь-яке ціле число ділиться само на себе:
    • транзитивне, тобто якщо і то
    • антисиметричне, тобто якщо і то або або

Приклади[ред.ред. код]

  • 7 є дільник 42 оскільки , тому ми можемо сказати, . Крім того, можна сказати, що 42 ділиться на 7, 7 ділить 42.
  • Нетривіальними дільниками 6 є 2, −2, 3, й −3.
  • Додатними дільниками 42 є 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • , оскільки .
  • Множиною всіх додатних дільників 60 є, , частково впорядкована подільність, якій відповідає діаграму Гассе:
350пікселів


Кількість дільників[ред.ред. код]

Число додатних дільників натурального числа зазвичай позначають , є мультиплікативною функцією, для неї є вірною асимптотична формула Діріхле:

в якій  — стала Ейлера—Маскероні, а для Діріхле отримав значення Цей результат багаторазово поліпшувався, і останнім часом найкращий відомий результат (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення , при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж ).[1][2][3]

При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як , що було виявлено А. Карацубою.[4]. З комп'ютерних оцінок М. Корольова.

Узагальнення[ред.ред. код]

Поняття подільності узагальнюється на довільні кільця, наприклад кільце многочленів.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. А. А. Бухштаб Теорія чисел. — М. : Просвіта, 1966.
  2. Аналітична теорія чисел
  3. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. В. І. Арнольд Динаміка, статистика та проективна геометрія полів Галуа. — М. : МЦНМО, 2005. — С. 70.