Класифікатор підоб'єктів
У теорії категорій, класифікатор підоб'єктів — спеціальний об'єкт Ω категорії; інтуїтивно, підоб'єкти X відповідають морфізму з X в Ω. Спосіб, у який він «класифікує» об'єкти, можна описати як присвоєння деяким елементам X значення «істина».
У категорії множин класифікатором підоб'єктів є множина Ω = {0,1}: кожній підмножині A довільної множини S можна зіставити її характеристичну функцію — функцію з S в Ω, що набуває значення 1 на підмножині A і 0 на її доповненні, і навпаки, будь-яка функція з S в Ω є характеристичною функцією деякої підмножини. Якщо χA — деяка характеристична функція на множині S, така діаграма є декартовим квадратом:
Тут true: {0} → {0, 1} — відображення, що переводить 0 в 1.
У загальному випадку можна розглянути довільну категорію C, що має термінальний об'єкт, який ми позначатимемо 1. Об'єкт Ω категорії C — класифікатор підоб'єктів C, якщо існує морфізм
- 1 → Ω
з такою властивістю:
- для будь-якого мономорфізму j: U → X існує єдиний морфізм j: X → Ω, такий що квадрат
: є декартовим, тобто U — границя діаграми.
Морфізм j називають класифікувальним морфізмом для підоб'єкта, поданого мономорфізмом j.
- Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
- П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М. : Наука, 1986. — 440 с.
- Mac Lane, Saunders[en]. Categories for the Working Mathematician. — 2nd. — New York, NY : Springer-Verlag, 1998. — Т. 5. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-98403-8.
- Artin Michael, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géometrie Algébrique IV. — Springer-Verlag, 1964.
- Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. — Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-387-97710-4.
