Характеристична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік характеристичної функції двовимірної підмножини квадрата.

Характеристична функція (індикаторна функція, індикатор) підмножини функція, визначена на множині , яка визначає належність елемента підмножині .

Термін характеристична функція в теорії ймовірностей використовується в іншому значенні (див. Характеристична функція випадкової величини).

Тому в теорії ймовірностей описана в цій статті функція називається індикаторною функцією.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай — деяка підмножина довільної множини . Функція , визначена таким чином:

називається характеристичною функцією або індикатором множини .

Альтернативними позначеннями індикатора множини є: або , а іноді навіть . Нотація Айверсона дозволяє позначення .

(Грецька літера походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)

Замітка. Позначення може означати тотожну функцію.

Основні властивості[ред.ред. код]

Відображення, яке пов'язує підмножину з його індикатором є ін'єкцією. Якщо і  — дві підмножини , то

Більш загально, припустимо  — множина підмножин . Ясно, що для довільного

— добуток нулів і одиниць. Цей добуток приймає значення 1 для тих , які не належать жодній множині і 0 в іншому випадку. Тому

Розкладаючи ліву частину, одержуємо

де  — потужність . Це одна з форм запису принципу включення-виключення. Отже індикатор — корисне позначення в комбінаториці, яке використовується також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей: якщо  — ймовірнісний простір з ймовірнісною мірою , а  — вимірна множина, то індикатор стає випадковою величиною величиною, чиє математичне очікування рівне ймовірності

Варіація і коваріація для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.