Характеристична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік характеристичної функції двовимірної підмножини квадрата.

Характеристична функція (індикаторна функція, індикатор) підмножини  — функція, визначена на множині , яка визначає належність елемента підмножині .

Означення[ред. | ред. код]

Нехай  — деяка підмножина довільної множини . Функцію , означену таким чином:

називають характеристичною функцією або індикатором множини .

Альтернативними позначеннями індикатора множини є: або , а іноді навіть . Нотація Айверсона[en] дозволяє позначення .

(Грецька літера походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)

Замітка. Позначення може означати тотожну функцію.

Основні властивості[ред. | ред. код]

Відображення, яке пов'язує підмножину з її індикатором , є ін'єкцією. Якщо і  — дві підмножини , то

Загальніше, припустімо, що  — множина підмножин . Ясно,[Кому?] що для довільного

 — добуток нулів та одиниць. Цей добуток набуває значення 1 для тих , які не належать жодній множині , і 0 в іншому разі. Тому

Розкладаючи ліву частину, отримуємо

де  — потужність . Це — одна з форм запису принципу включення-виключення. Отже, індикатор — корисне позначення в комбінаториці, яке використовують також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей: якщо  — ймовірнісний простір з ймовірнісною мірою , а  — вимірна множина, то індикатор стає випадковою величиною, чиє математичне очікування дорівнює ймовірності

Дисперсія та коваріація для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:

Зауваження щодо позначення та термінології[ред. | ред. код]

Позначення також використовують для позначення , характеристичної функції[en] в опуклому аналізі[en], яку означують як обернене до стандартного означення характеристичної функції.

Термін «характеристична функція» має незалежне значення в класичній теорії ймовірностей. З цієї причини традиційні ймовірнісники[en] використовують термін індикаторна функція майже ексклюзивно, тоді як математики в інших областях для опису функції, що вказує на приналежність до множини, використовують скоріше термін характеристична функція.

У нечіткій логіці та сучасній багатозначній логіці предикати є характеристичними функціями розподілу ймовірності. Тобто, строгу істинну/хибну оцінку предикату замінюють величиною, що інтерпретують як степінь істинності.

Середнє значення, дисперсія та коваріація[ред. | ред. код]

Для заданого ймовірнісного простору , та , індикаторну випадкову змінну означують як , якщо , інакше

Середнє значення
.
Дисперсія
.
Коваріація
.

Характеристична функція в теорії рекурсії, представляльна функція Геделя та Кліні[ред. | ред. код]

Курт Гедель описав представляльну функцію[1][2][3] (англ. representing function) у своїй праці 1934 року «Про нерозв'язні твердження формальних математичних систем» (цю працю опубліковано на стор. 41-74 книжки «Нерозв'язне», «The Undecidable», під редагуванням Мартіна Девіса):

«Кожному класові чи відношенню повинна відповідати представляльна функція , якщо та , якщо .» (cтор. 42; «~» позначує логічне обернення, тобто «НЕ»).

Стівен Кліні (1952) (cтор. 227) запропонував таке саме означення в контексті примітивно-рекурсивних функцій як функції від предикату , що набуває значення , якщо предикат є істинним, та , якщо предикат є хибним.

Наприклад, оскільки добуток характеристичних функцій , якщо будь-яка з ціх функцій дорівнює , то вона відіграє роль логічного АБО: ЯКЩО АБО АБО . . . АБО ТОДІ їх добуток дорівнює . Те, що видається сучасному читачеві як логічне обернення представляльної функції, тобто, що представляльна функція дорівнює , коли функція є «істинною» чи «вдоволеною», відіграє корисну роль в означенні Кліні логічних функцій «OR», «AND», та «IMPLY» (стор. 228), обмежених (стор. 228) та необмежених (стор. 279 і далі) μ-операторів (Кліні, 1952), та функції «CASE» (стор. 229).

Характеристична функція в теорії нечітких множин[ред. | ред. код]

В класичній математиці характеристичні функції множин набувають лише значень 1 (елемент) та 0 (не елемент). В теорії нечітких множин характеристичні функції узагальнюють до набування значень з дійсного одиничного проміжку [0, 1], або, загальніше, з деякої алгебри або структури[en] (яка зазвичай повинна бути щонайменше частково впорядкованою множиною або ґраткою). Такі узагальнені характеристичні функції частіше називають функціями належності, а відповідні «множини» називаються нечіткими множинами. Нечіткі множини моделюють поступову зміну ступеня істинності[en], що спостерігається у багатьох предикатів реального світу, таких як «високий», «теплий» тощо.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. representing // Англійсько-український словник з математики та інформатики / уклад. Є. Мейнарович, М. Кратко. — 2010.
  2. representing // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина І англійсько-українська / уклад. О. Кочерга, Є. Мейнарович. — 2010.
  3. представляльний // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина ІІ українсько-англійська / уклад. О. Кочерга, Є. Мейнарович. — 2010.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]