Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності

Грани́ця числово́ї послідо́вності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення.

Означення границі

^{[усталений термін?]} Дійсне число a називається границею числової послідовності {a_n : n ≥ 1}, якщо ∀ ε > 0 ∃ N = N(ε) ∈ N ∀ n ≥ N : |a_n - a| < ε.

Шаблон:Denotation Границю числової послідовності позначають так:

$a=\lim _{n\to \infty }a_{n}$

або

$a_{n}\rightarrow a,n\rightarrow \infty$

( lim - скорочено від латинського слова limes, що означає "границя". )

Кажуть також, що послідовність {a_n : n ≥ 1} збігається до числа a, або має границю a.

{{knu mechmat}} → Нехай a_n = 1/n,n ≥ 1 . Доведемо, що

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

Оскільки ∀ ε > 0|1/n-0| = 1/n < ε ⇔ n > 1/ε. Тому ∀ ε > 0 ∃ N := [1/ε] +1 ∈ R ∀ n ≥ N : |1/n - 0| < ε.

^{[усталений термін?]} Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.

{{knu mechmat}} → Розглянемо a_n = (-1)ⁿ, n ≥ 1. Доведемо, що {a_n} = {-1; 1; -1; 1…} —розбігається. Припустимо, що a_n → a, n → ∞. Тоді для ε = 1/2 ∃ N ∀ n ≥ N : |a_n - a| < ε = 1/2. В такому випадку ми могли б записати:

${\begin{cases}|-1-a|<{1 \over 2}\\|1-a|<{1 \over 2}\end{cases}},$

але таких a —не існує.

^{[усталений термін?]} Кажуть, що {a_n} має границю +∞, якщо ∀ c ∈ R ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : a_n ≥ c; має границю −∞, якщо ∀ c ∈ R ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : a_n ≤ c.

{{knu mechmat}} → Доведемо, що

$\lim _{n\to \infty }n^{n}=+\infty$

∀ c ∈ R ∃ n₀ ∈ N : ∀ n ≥ n₀ виконується nⁿ ≥ c, nⁿ ≥ n ≥ c — вірно ∀ n ≥ n₀, n₀ = [c] + 1.

^{[усталений термін?]} Кажуть, що {a_n} має границю ∞, якщо ∀ c > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : |a_n| > c.

{{knu mechmat}} → Доведемо, що

$(-1)^{n}{\sqrt {n}}\rightarrow \infty ,n\rightarrow \infty$

З попереднього означення неважко здогадатись, що:

${\begin{aligned}-&{\sqrt {n}}\rightarrow -\infty ,n\rightarrow \infty \\&{\sqrt {n}}\rightarrow +\infty ,n\rightarrow \infty \end{aligned}}$

А ми знаємо, що послідовність {(-1)ⁿ | n ≥ 1} обмежена і її члени лежать у відрізку [-1; 1]. Тому відповідно ∀c > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : |(-1)ⁿ√n| > c.

Геометрична інтерпретація

^{[усталений термін?]} Число a є границею числової послідовності {a_n}, якщо будь-який ε–окіл точки a містить всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого.

Властивості збіжних послідовностей

Шаблон:Plain theorem Збіжна послідовність обмежена.

Шаблон:Plain theorem Нехай a_n → a ∈ R, n → ∞ і число b > a. Тоді ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : a_n < b. Аналогічно, ∀ c < a ∃ K ∈ N ∀ n ≥ K : c < a_n.

Шаблон:Plain theorem Припустимо, що для послідовностей {a_n | n ≥ 1} і {b_n | n ≥ 1} виконуються умови:

1. a_n → a, b_n → b, n → ∞;
2. ∀ n ∈ N : a_n ≤ b_n.

Тоді a ≤ b.

Шаблон:Remark Якби в умові було a_n < b_n, то всерівно a ≤ b.

{{knu mechmat}} → -1/n < 1/n, при цьому -1/n → 0, 1/n → 0, n → ∞.

Шаблон:Plain theorem Нехай послідовності {a_n | n ≥ 1}, {b_n | n ≥ 1}, {c_n | n ≥ 1} задовольняють умови:

1. a_n → a ∈ R, c_n → a, n → ∞;
2. ∀ n ≥ 1 : a_n ≤ b_n ≤ c_n.

Тоді b_n → a, n → ∞.

{{knu mechmat}} → Доведемо, що

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}}=1$

Нехай в теоремі (про три послідовності) для n ∈ N a_n = 1, тоді

$b_{n}={\sqrt[{n}]{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}},c_{n}={\sqrt[{n}]{n}};$

при цьому a_n < b_n < c_n, n > 1 і a_n → 1, c_n → 1, n → ∞.

Шаблон:Plain theorem Нехай a_n → a ∈ R, b_n → b ∈ R, n → ∞ Тоді

• ∀ c ∈ R

$\lim _{n\to \infty }(ca_{n})=c\lim _{n\to \infty }a_{n};$

• :$\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n};$
• : $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n};$
• якщо додатково b ≠ 0, то

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}.$

Монотонні послідовності

Існування границі монотонної послідовності

^{[усталений термін?]} Послідовність {a_n | n ≥ 1} називається строго зростаючою, якщо ∀ n ≥ 1 : a_n < a_n+1. Послідовність {a_n | n ≥ 1} називається зростаючою (неспадною), якщо ∀ n ≥ 1 : a_n ≤ a_n+1. Послідовність {a_n | n ≥ 1} називається строго спадною, якщо ∀ n ≥ 1 : a_n > a_n+1. Послідовність {a_n | n ≥ 1} називається спадною (незростаючою), якщо ∀ n ≥ 1 : a_n ≥ a_n+1. Послідовність, яка задовольняє хоча б одну із вищенаведених умов, називається монотонною.

{{knu mechmat}} → Послідовність {1, 2, 3, 4,…, n,…} є строго зростаючою, послідовність {1, 1, 2, 2, 3, 3,…, n, n…} зростаюча (неспадна), а послідовність {1, -1, 1, -1,…, (-1)ⁿ⁺¹,…} не є монотонною.

Шаблон:Plain theorem Монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел має границю.

Число е

Розглянемо послідовність {a_n = (1+1/n)ⁿ | n ≥ 1}. Якщо розписати її за формулою бінома Ньютона, то стане зрозуміло, що кожний із відповідних доданків у a_n+1 більший за відповідний доданок у a_n. До того ж у a_n+1 на один доданок більше. А тому можна зробити висновок, що a_n монотонна і обмежена, тобто вона є збіжною. Позначимо буквою е границю послідовності {a_n}. Таким чином,

$e:=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}.$

Число е — одна із важливих фундаментальних сталих в математиці. Воно є ірраціональним, його значення з точністю до 10^-15 дорівнює е ≈ 2,718281828459045.

Підпослідовності та їх властивості

Означення підпослідовності

^{[усталений термін?]} Послідовність {a_m(k) | k ≥ 1} називається підпослідовністю послідовності {a_n | n ≥ 1}.

{{knu mechmat}} → Підпослідовністю послідовності є {a₂, a₄, a₆,…, a_2k,…} = {a_2k | k ≥ 1}.

Властивості підпослідовностей

1. Якщо послідовність обмежена, то будь-яка її підпослідовність також обмежена.
2. Якщо послідовність збігається до a (можливо a = +∞ або a = -∞), то будь-яка її підпослідовність також збігається до a.
3. Нехай a_n → a, n → ∞; {v(k) | k ≥ 1} ⊂ N, v(k) → +∞, k → ∞. Тоді a_v(k) → a, k → ∞.

Поняття про часткові границі

^{[усталений термін?]} Число a ∈ R називається частковою границею послідовності {a_n | n ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {a_m(k) | k ≥ 1} така, що a_m(k) → a, k → ∞. Значення +∞ (-∞) називається частковою границею послідовності {a_n | n ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {a_m(k) | k ≥ 1} така, що a_m(k) → +∞, k → ∞ (a_m(k) → -∞, k → ∞).

Шаблон:Denotation Часткову границю позначають так: A_r = A_r(a_n).

{{knu mechmat}} → Візьмемо уже відому нам послідовність {a_n = (-1)ⁿ, n ≥ 1.}. Ми знаємо, що {a_n} = {-1; 1; -1; 1,…} —розбігається. Тому частковою границею буде A_r(a_n) = {1; -1}.

Нехай A —множина всіх часткових границь послідовності {a_n | n ≥ 1}.

Шаблон:Plain theorem Число a ∈ R є частковою границею послідовності {a_n | n ≥ 1} тоді і тільки тоді, коли ∀ ε > 0 ∀ N ∈ N ∃ ñ ∈ N : ñ ≥ N, |a_ñ - a| < ε.

Шаблон:Plain theorem Будь-яка послідовність дійсних чисел містить монотонну підпослідовність.

Шаблон:Plain theorem Будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел містить збіжну до дійсного числа підпослідовність.

Верхня та нижня границі послідовності

^{[усталений термін?]} Нехай {a_n | n ≥ 1} ⊂ R — послідовність і A — множина її часткових границь. Нижньою границею послідовності називається величина

$\varliminf _{n\to \infty }a_{n}=\inf A.$

Шаблон:Remark Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {a_n | n ≥ 1} обмежена знизу і A ≠ {+∞}. Також нижня границя дорівнює -∞, якщо {a_n | n ≥ 1} не обмежена знизу і дорівнює +∞, якщо A = {+∞}.

^{[усталений термін?]} Верхньою границею послідовності називається величина

$\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}=\sup A.$

Шаблон:Remark Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {a_n | n ≥ 1} обмежена зверху і A ≠ {-∞}. Також верхня границя дорівнює +∞, якщо {a_n | n ≥ 1} не обмежена зверху і дорівнює -∞, якщо A = {-∞}.

{{knu mechmat}} → Якщо послідовність {a_n | n ≥ 1} збігається до a, то

$\varliminf _{n\to \infty }a_{n}=\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}=a.$

Шаблон:Plain theorem Нехай {a_n | n ≥ 1} — обмежена послідовність. Тоді

$\alpha \ =\varliminf _{n\to \infty }a_{n}.$

Дане твердження рівносильне ∀ ε > 0:

1. множина {n ∈ N | a_n < a-ε} скінченна і
2. множина {n ∈ N | a_n < a+ε} нескінченна.

$\beta \ =\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}.$

Дане твердження рівносильне ∀ ε > 0:

1. множина {n ∈ N | a_n > β+ε} скінченна і
2. множина {n ∈ N | a_n > β-ε} нескінченна.

Тобто, щоб визначити нижню границю послідовності, варто скористатись формулою:

$\varliminf _{n\to \infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}a_{m}{\Big )}$

Для верхньої границі відповідно:

$\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}a_{m}{\Big )}$

{{knu mechmat}} → Розглянемо послідовність {a_n} = {1; 0; 2; 0; 3; 0;…}. Нижньою границею в даному випадку буде

$\varliminf _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Верхньою границею буде відповідно:

$\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}=\infty .$

Виберемо підпослідовності даної послідовності. Для послідовності, яка складається з елементів з парними номерами, це буде {a_2n} = {0, 0, 0,…,0,…} = {0}, для непарних номерів відповідно {a_2n+1} = {1, 2, 3,…,n+1, n,…}.

Шаблон:Plain theorem Нехай для послідовності чисел {a_n | n ≥ 1}

$\alpha \ =\varliminf _{n\to \infty }a_{n},\beta \ =\varlimsup _{n\to \infty }a_{n}.$

Тоді α ∈ A, β ∈ A.

Історія

Саме відомий німецький математик Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (Веєрштрас) ввів позначення границі числової послідовності:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

Див. також

• Границя функції в точці
  • Теорема Тьопліца

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)
• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.