Рівняння Бюргерса

Рівнянням Бюргерса називають нелінійне диференціальне рівняння в часткових похідних, що використовується в гідродинаміці. Це рівняння відоме в різних областях прикладної математики. Рівняння названо на честь Йоганнеса Мартінуса Бюргерса (1895—1981). Є окремим випадком рівнянь Нав'є — Стокса в одновимірному випадку. Нехай задана швидкість течії рідини u та її кінематична в'язкість $\nu$. Рівняння Бюргерса в загальному вигляді записується так:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$.

де $u(x,t)$ — невідома функція (густина газу чи рідини), $-\infty <x<+\infty$ - просторова кордината, $t\geq 0$ — час, а $\nu$ — в'язкість (параметр). Воно являє собою модельне рівняння при дослідженні хвильових процесів в газодинаміці, гідродинаміці, акустиці і т. д. На рівняння Бюргерса як на найпростіше р-ня, що об'єднує типову нелінійність і теплову дифузію (або в'язкість), вказав Й. Бюргерс (J. Burgers) в 1942 році, хоча воно фігурувало й раніше в роботах інших вчених, зокрема Г. Бейтмена (H. Bateman). Виявлена ​​Е. Хопфом (E. Hopf) і Дж. Коулом (J. Cole) в 1950 заміна $u=-2\nu {\frac {\partial \ln \phi (x,t)}{\partial x}}$ дозволяє звести рівняння Бюргерса до рівняння теплопровідності для функції $\phi$.

$\phi (x,t)=(4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{+\infty }d\eta e^{-F(x,\eta ,t)/2\nu }$

$F(x,\eta ,t)=\int _{0}^{\eta }u_{0}(\xi )d\xi +(x-\eta )^{2}/2t$

З допомогою цієї формули можна детально прослідкувати як із гладких початкових умов утворюються і поширюються ударні хвилі у нелінійному середовищі, що описуються рівнянням ${\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}$ якщо за розв'язок взяти границю "зникаючої в'язкості" $v(x,t)=\lim _{v\rightarrow +0}u(x,t)$, і в початковий момент $v(x,0)=u(x,0)$,

Джерела

• Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М., Сов.энциклопедия, 1988.