Диференціальне рівняння з частинними похідними

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Вступ[ред.ред. код]

Розглянемо порівняно просте рівняння з частинними похідними:

З цього співвідношення випливає, що значення функції u(x,y) не залежить від x. Отже, загальний розв'язок рівняння є наступним:

де f — довільна функція змінної y. Аналогічне звичайне диференціальне рівняння має вигляд:

і його розв'язок

де c — довільна константа (незалежна від x). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить довільні константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції.

Визначення[ред.ред. код]

Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду

де F — задана дійсна функція точки області D евклідового простору і дійсних змінних (u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне число m називається порядком рівняння. Визначена у області D задання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них відносяться зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.

У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:

Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.

Лінійні рівняння[ред.ред. код]

Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних, тобто функція F з означення лінійна відносно аргументів

Класифікація рівнянь другого порядку[ред.ред. код]

Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:

де — задані в області D дійсні функції точки x.

Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:

У кожній точці квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних , може бути приведена до канонічного виду

де коефіцієнти приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.

Коли всі або всі тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці . Якщо один з коефіцієнтів від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли коефіцієнтів — додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа і k_1 однакового знаку такі, що

для всіх . Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області. У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто. Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:

де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку: і . Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:

Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта , класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:

  1. Гіперболічне рівняння
  2. Еліптичне рівняння
  3. Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).

У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.

Існування і єдиність розвязку[ред.ред. код]

Хоча відповідь на питання про існування і єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара — Лінделефа), для рівняння з частинними похідними однозначної відповіді на це питання немає. Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевськоі), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння з частинними похідними, аналітичного щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розвязок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.

Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:

з початковими умовами:

де nціле число. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прямує до 0 по x при зростанні n, проте розв'язком рівняння є

Розв'язок прямує до нескінченності, якщо nx не кратно для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається некоректною, оскільки немає неперервної залежності розв'язку від початкових даних.

Приклади[ред.ред. код]

Одновимірне рівняння теплопровідності[ред.ред. код]

Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд

де u(t,x) - температура, і — додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:

,

де f(x) — довільна функція.

Рівняння коливання струни[ред.ред. код]

Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:

Двовимірне рівняння Лапласа[ред.ред. код]

Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:

Його розв'язки називаються гармонічними функціями.

Зв'язок з аналітичними функціями[ред.ред. код]

Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції комплексної змінної є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:

Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:

Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.

Граничні умови[ред.ред. код]

Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області — деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:

  • задача Діріхле
  • задача Неймана.

Рівняння Гінзбурга — Ландау[ред.ред. код]

Рівняння Гінзбурга — Ландау використовуються для моделювання надпровідності. Рівняння має вигляд

Розвязок рівнянь математичної фізики[ред.ред. код]

Існує два види методів розв'язування даного типа рівнянь:

  • аналітичні, при яких результат виводиться різними математичними перетвореннями;
  • чисельні, при яких одержаний результат відповідає дійсному із заданою точністю.

Аналітичний розв'язок[ред.ред. код]

Рівняння коливань[ред.ред. код]

Розглянемо задачу про коливання струни довжини . Вважатимемо, що на кінцях струни функція набуває значення нуль:

У початковий момент часу задамо початкові умови:

Представимо розв'язок у вигляді:

Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток одержуємо:

Права частина цього рівняння залежить від , ліва — від , отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через :

Звідси знаходимо рівняння для :

Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при і мають вигляд:

Розглянемо рівняння для знаходження :

Його розв'язок:

Отже, кожна функція вигляду

є рішенням хвильового рівняння.

Щоб задовольнити початкові умови, утворимо ряд:

Підстановка в початкові умови дає:

Останні формули є розкладом функцій і у ряд Фур'є на відрізку . Коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами:

Чисельний розв'язок[ред.ред. код]

Рівняння коливань струни[ред.ред. код]

Цей спосіб рішення називається методом скінченних різниць. Цей метод заснований на визначенні похідної функції :

Якщо є функція , то часткова похідна буде наступна:

Оскільки ми використовуємо достатньо малий, знаки меж можна відкинути. Тоді одержимо такі вирази:




,

Тоді попередні вирази можна записати так: ,

Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому: , - це ліві диференціали.

Підсумувавши обидва вирази одержимо наступне:

з яких одержується:

Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку:

Рівняння коливань струни записується в такій формі: .

Додаткові умови задаються у вигляді: , , , ,

де і — позиції кінців (кріплень) струни в часі
а і — початковий стан і швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою
.

У обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких .

Значення функції для інших і можна обчислити з рівняння коливань струни:

Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких і , використовуючи значення функції при попередніх і .

Цей метод дає наближену відповідь, ступінь точності . Для достатньо точних результатів необхідно використовувати інтервали і .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
  • Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
  • Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
  • Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
  • Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
  • Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
  • John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
  • Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
  • Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .