Рівняння Кнотта

Діаграма, що показує переходи режиму, які виникають, коли Р-хвилі відбиваються на границях шарів всередині Землі при кутах падіння, відмінних від нормальних.

В геофізиці рівняння Кнотта (англ. Knott's equations) — рівняння, які описують перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ. Вони були отримані в 1899 році англійським геофізиком Карджілом Гілстоном Кноттом, і описують в термінах потенціалів зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Цьопріца в термінах амплітуд зміщення.

Ця задача була вперше розглянута Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Карл Цьопріц в 1907 р.

Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоска поздовжня хвиля з амплітудою потенціалу зміщення $A_{0}$ під кутом $\theta _{1}$, відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита ($A_{1},\theta _{1}^{'}$), поперечна відбита ($B_{1},\delta _{1}$), поздовжня заломлена ($A_{2},\theta _{2}$) і поперечна заломлена ($B_{2},\delta _{2}$). Параметри середовища вказані на рисунку: $\sigma$ — густина, $\lambda ,\mu$ — константи Ляме, $V_{P}$, $V_{S}$ позначають швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль.

Тоді система рівнянь Кнотта матиме такий вигляд:

$\left\{{\begin{array}{rrrrrrrr}-a_{1}A_{0}&+&a_{1}A_{1}&-&B_{1}=&-a_{2}A_{2}&-&B_{2},\\A_{0}&+&A_{1}&+&b_{1}B_{1}=&A_{2}&-&b_{2}B_{2},\\\mu _{1}c_{1}A_{0}&+&\mu _{1}c_{1}A_{1}&-&2\mu _{1}b_{1}B_{1}=&\mu _{2}c_{2}A_{2}&+&2\mu _{2}b_{2}B_{2},\\-2\mu _{1}a_{1}A_{0}&+&2\mu _{1}a_{1}A_{1}&+&\mu _{1}c_{1}B_{1}=&-2\mu _{2}a_{2}A_{2}&+&\mu _{2}c_{2}B_{2},\end{array}}\right.$

де $a_{i}=\operatorname {ctg} \theta _{i}$, $b_{i}=\operatorname {ctg} \delta _{i}$, $c_{i}=b_{i}^{2}-1$.

Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.